Bonjour Wendy14
z' = z² + 5z + 8
[tex]1)\ z_{A'}=(-3+2i)^2+5(-3+2i)+8\\\\z_{A'}=9-12i-4-15+10i+8\\\\\boxed{z_{A'}=-2-2i}[/tex]
2) a) Affirmation 1 : "Pour tout complexe z, si z est réel, alors z' est réel"
VRAI car z' est une somme de produits de nombres réels ==> z' est réel.
b) Affirmation 2 : "Pour tout complexe z, si z est imaginaire pur, alors z' est imaginaire pur".
FAUX.
Soit z = yi
Alors :
[tex]z'=(yi)^2+5yi+8\\\\z'=-y^2+5yi+8\\\\z'=(-y^2+8)+5yi[/tex]
z' ne sera imaginaire pur que si -y² + 8 = 0, soit y² = 8, soit [tex]y=\pm2\sqrt{2}[/tex].
Il existe donc une infinité de nombres complexes z imaginaires purs tels que z' ne soit pas un imaginaire pur.
3) Points invariants.
Il faut résoudre l'équation z² + 5z + 8 = z
[tex]z^2+4z+8=0\\\Delta=4^2-4\times1\times8=16-32=-16\\Racines\ carr\acute{e}es\ de\ -16 :\pm4i\\\\z_1=\dfrac{-4-4i}{2}=\dfrac{2(-2-2i)}{2}=-2-2i\\\\z_2=\dfrac{-4+4i}{2}=\dfrac{2(-2+2i)}{2}=-2+2i[/tex]
Par conséquent, les points invariants ont pour affixes :
Zm = -2 - 2i ou Zm = -2 + 2i.
4) z = x + iy
[tex]z'=(x+iy)^2+5(x+iy)+8\\\\z'=x^2+2xyi-y^2+5x+5yi+8\\\\z'=x^2-y^2+5x+8+(2x+5)yi\\\\\boxed{\Re(z')=x^2-y^2+5x+8}\\\\\boxed{\Im(z')=(2x+5)y}[/tex]
5) a) M' sera un nombre réel si Im(z') = 0
(2x + 5)y = 0
2x + 5 = 0 ou y = 0
x = -5/2 ou y = 0
L'ensemble des points M du plan complexe tels que M' soit sur l'axe réel est la droite d'équation x = -5/2 (droite parallèle à l'axe imaginaire) ou la droite réelle y = 0 (axe réel).
b) La réciproque de l'affirmation 1 est fausse.
Si z' est réel, alors nous n'avons pas nécessairement z réel
En effet,
par la question a), nous avons montré que tous les points de la droite d'équation x = -5/2 étaient tels que z' soit réel.
Or ces points (sauf un) ne se situent pas sur l'axe réel.
Ce que montre que la réciproque est fausse.
6) Affirmation 3 : "Il existe un nombre imaginaire pur z tel que z' soit un imaginaire pur"
VRAI.
Soit z = iy.
En tenant compte de la réponse concernant l'affirmation 2, z' ne sera imaginaire pur que si -y² + 8 = 0, soit y² = 8, soit [tex]y=\pm2\sqrt{2}[/tex].
Donc les nombres complexes imaginaires purs [tex]z=-2i\sqrt{2}[/tex] et [tex]z=2i\sqrt{2}[/tex] ont une image z' imaginaire pure.
