Bonjour Carolinaaaaa
Exercice 38
1) Les coordonnées d'un vecteur directeur de la droite (d) sont (-4 ; 5)
Un vecteur directeur de la droite (AB) est [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] dont les coordonnées sont [tex](x_B-x_A;y_B-y_A)=(5+1;2-1)=\boxed{(6;1)}[/tex]
Déterminons si ces vecteurs sont colinéaires ou non en calculant leur déterminant.
[tex](-4)\times1-6\times5=4-30=-34\neq0[/tex]
Puisque le déterminant des vecteurs directeurs n'est pas nul, ces vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires.
Par conséquent, les droites (d) et (AB) ne sont pas parallèles.
Ces droites (d) et (AB) sont donc sécantes en un point C.
2) Coordonnées de C.
Déterminons une équation de la droite (AB).
La droite (AB) admet une équation de la forme : ax + by + c = 0
Sachant qu'un vecteur directeur de la droite (AB) admet comme coordonnées (6;1) (voir question précédente), l'équation de (AB) est de la forme : x - 6y + c = 0.
Or A(-1 ; 1) appartient à cette droite (AB).
Dans l'équation x-6y+c=0, remplaçons x par -1 et y par 1.
-1 - 6*1 + c = 0
-1 - 6 + c = 0
-7 + c = 0
c = 7
D'où, une équation de (AB) est : x - 6y + 7 = 0.
Pour trouver les coordonnées du point C, résolvons le système :
[tex]\left\{\begin{matrix}x-6y+7=0\\5x+4y-16=0\end{matrix}\right.\ \ \ \left\{\begin{matrix}x=6y-7\\5x+4y-16=0\end{matrix}\right.\ \ \ \left\{\begin{matrix}x=6y-7\\5(6y-7)+4y-16=0\end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}x=6y-7\\30y-35+4y-16=0\end{matrix}\right.\ \ \ \left\{\begin{matrix}x=6y-7\\34y-51=0\end{matrix}\right.\ \ \ \left\{\begin{matrix}x=6y-7\\34y=51\end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix}x=6y-7\\y=\dfrac{51}{34}\end{matrix}\right.\ \ \ \left\{\begin{matrix}x=6y-7\\y=\dfrac{3}{2}=1,5\end{matrix}\right.\ \ \ \left\{\begin{matrix}x=6\times1,5-7\\y=1,5\end{matrix}\right.\ \ \ \left\{\begin{matrix}x=9-7\\y=1,5\end{matrix}\right.\\\\\\\boxed{\left\{\begin{matrix}x=2\\y=1,5\end{matrix}\right.}[/tex]
Par conséquent, les coordonnées du point C sont (2 ; 1,5).
Exercice 45
1) Figure en pièce jointe.
[tex]2)\ \overrightarrow{FH}=\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{EH}\\\\\overrightarrow{FH}=\overrightarrow{FE}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{EG}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{EF}\\\\\overrightarrow{FH}=\overrightarrow{FE}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{EG}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{FE}\\\\\overrightarrow{FH}=(\overrightarrow{FE}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{FE})+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{EG}\\\\\overrightarrow{FH}=(\dfrac{3}{3}\overrightarrow{FE}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{FE})+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{EG}[/tex]
[tex]\\\\\overrightarrow{FH}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{FE}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{EG}\\\\\overrightarrow{FH}=\dfrac{2}{3}(\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{EG})\\\\\boxed{\overrightarrow{FH}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{FG}}[/tex]
D'où les vecteurs [tex]\overrightarrow{FH}[/tex] et [tex]\overrightarrow{FG}[/tex] sont colinéaires.
3) Puisque les vecteurs [tex]\overrightarrow{FH}[/tex] et [tex]\overrightarrow{FG}[/tex] sont colinéaires, nous en déduisons que les points F, H et G sont alignés.
Par conséquent, le point H appartient à la droite (FG)
