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Sagot :
Bonjour Fijirata
On sait que pour tous les entiers a et n ≥ 2, [tex]a^n-1[/tex] est divisible par a-1.
En effet,
[tex]1+a+a^2+a^3+...+a^n[/tex] est la somme de n termes d'une suite géométrique de raison a et dont le premier terme est 1.
En utilisant la formule de la somme de n termes d'une suite géométrique, nous obtenons :
[tex]S=\text{premier terme}\times\dfrac{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}}\\\\1+a+a^2+a^3+...+a^n=1\times\dfrac{1-a^n}{1-a}\\\\1+a+a^2+a^3+...+a^n=\dfrac{1-a^n}{1-a}\\\\1+a+a^2+a^3+...+a^n=\dfrac{a^n-1}{a-1}[/tex]
D'où [tex]a^n-1[/tex] est divisible par a-1.
On en déduit que si a > 2, alors [tex]a^n-1[/tex] n'est pas un nombre premier.
Par conséquent, le premier nombre de Mersenne qui ne soit pas un nombre premier est 3² - 1.
NB : 3² - 1 = 8 qui n'est pas premier.
On sait que pour tous les entiers a et n ≥ 2, [tex]a^n-1[/tex] est divisible par a-1.
En effet,
[tex]1+a+a^2+a^3+...+a^n[/tex] est la somme de n termes d'une suite géométrique de raison a et dont le premier terme est 1.
En utilisant la formule de la somme de n termes d'une suite géométrique, nous obtenons :
[tex]S=\text{premier terme}\times\dfrac{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}}\\\\1+a+a^2+a^3+...+a^n=1\times\dfrac{1-a^n}{1-a}\\\\1+a+a^2+a^3+...+a^n=\dfrac{1-a^n}{1-a}\\\\1+a+a^2+a^3+...+a^n=\dfrac{a^n-1}{a-1}[/tex]
D'où [tex]a^n-1[/tex] est divisible par a-1.
On en déduit que si a > 2, alors [tex]a^n-1[/tex] n'est pas un nombre premier.
Par conséquent, le premier nombre de Mersenne qui ne soit pas un nombre premier est 3² - 1.
NB : 3² - 1 = 8 qui n'est pas premier.
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