Bonjour
Lablonde30
Figure en pièce jointe.
1) Démontrons que le quadrilatère PQRS est un parallélogramme.
Puisqu'on partage chacun des cotés [AB] et [AD] en trois segments de même longueur, nous avons :
[tex]\dfrac{AF}{AD}=\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{1}{3}[/tex]
Par la réciproque du théorème de Thalès, nous en déduisons que la droite (EF) est parallèle à la droite (BD), soit la droite (PS) est parallèle à la droite (BD).
De même, par la réciproque du théorème de Thalès dans le triangle BCD, nous déduirions que la droite (QR) est parallèle à la droite (BD).
D'où, (PS) est parallèle à (QR) car deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles.
Nous démontrerions également par un raisonnement ananlogue que (PQ) est parallèle à (SR)
Par conséquent, PQRS est un parallélogramme car les côtés opposés de ce quadrilatère sont parallèles.
2) a) Dans la question 1), nous avions montré que (BD) est parallèle à (PS). Donc (PM) est parallèle à (NI).
De même, (PN) est parallèle à (MI).
Par conséquent, le quadrilatère PNIM est un parallélogramme.
Nous en déduisons que [tex]\boxed{\overrightarrow{IP}=\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IN}}[/tex]
Or, par Thalès dans le triangle ABD,
[tex]\dfrac{AF}{AD}=\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AM}{AI}=\dfrac{1}{3}\Longrightarrow AM=\dfrac{1}{3}AI[/tex]
D'où [tex]\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AI}[/tex]
Dès lors, [tex]\overrightarrow{IM}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{IA}[/tex]
Nous démontrerions de façon analogue que
[tex]\overrightarrow{IN}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{IB}[/tex]
En résumé,
[tex]\overrightarrow{IP}=\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IN}\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{IP}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{IA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{IB}}[/tex]
b) Nous venons que démontrer que [tex]\overrightarrow{IP}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{IA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{IB}[/tex]
De manière analogue, nous démontrerions que :
[tex]\overrightarrow{IQ}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{IB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{IC}\\\\\overrightarrow{IR}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{IC}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{ID}\\\\\overrightarrow{IS}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{ID}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{IA}[/tex]
En additionnant ces égalités membres à membres, nous obtenons :
[tex]\overrightarrow{IP}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{IR}+\overrightarrow{IS}\\\\=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{IA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{IB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{IB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{IC}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{IC}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{ID}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{ID}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{IA}\\\\=\dfrac{4}{3}\overrightarrow{IA}+\dfrac{4}{3}\overrightarrow{IB}+\dfrac{4}{3}\overrightarrow{IC}+\dfrac{4}{3}\overrightarrow{ID}{[/tex]
[tex]=\dfrac{4}{3}(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID})[/tex]
D'où
[tex]\dfrac{4}{3}(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID})=\overrightarrow{IP}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{IR}+\overrightarrow{IS}}\\\\\\Or\\\\ \overrightarrow{IP}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{IR}+\overrightarrow{IS}}=\overrightarrow{IO}+\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{IO}+\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{IO}+\overrightarrow{OR}+\overrightarrow{IO}+\overrightarrow{OS}[/tex]
[tex]\\\\=4\overrightarrow{IO}+\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{OR}+\overrightarrow{OS}\\\\=4\overrightarrow{IO}+\overrightarrow{0}\ \ (car\ O\ est\ le\ centre\ du\ parall\acute{e}logramme\ PQRS)\\\\=4\overrightarrow{IO}[/tex]
Donc
[tex]\dfrac{4}{3}(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID})=4\overrightarrow{IO}\\\\\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID})=\overrightarrow{IO}\\\\\boxed{\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=3\overrightarrow{IO}}[/tex]
