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Sagot :
Bonjour
Usainbolt
1) a) Par Pythagore dans le triangle ABM rectangle en M, nous avons :
AB² = AM² + BM²
Par Pythagore dans le triangle AMC rectangle en M, nous avons :
AC² = AM² + MC²
Par Pythagore dans le triangle ABC rectangle en A, nous avons :
BC² = AB² + AC²
BC² = (AM² + BM²) + (AM² + MC²)
= AM² + BM² + AM² + MC²
= 2AM² + BM² + MC²
Par conséquent, BC² = 2AM² + BM² + MC²
b) Nous savons que
BC=5,
BM = x
MC = BC - BM = 5-x
D'où, BC² = 2AM² + BM² + MC² ==> 5² = 2AM² + x² + (5-x)²
25 = 2AM² + x² + (25 - 10x + x²)
25 = 2AM² + 25 - 10x + 2x²
2AM² = 25 - 25 + 10x - 2x²
2AM² = 10x - 2x²
2AM² = 2(5x - x²)
AM² = 5x - x²
AM² = x(5 - x)
2) Aire de la partie non grisée = aire du demi-cercle - aire triangle grisé.
Or l'aire du demi-cercle de diamètre 5, soit de rayon 5/2, est égale à
[tex]\dfrac{1}{2}\times\pi\times(\dfrac{5}{2})^2=\dfrac{1}{2}\times\pi\times\dfrac{25}{4}=\pi\times\dfrac{25}{8}=\dfrac{25\pi}{8}[/tex]
Aire du triangle grisé = [tex]\dfrac{1}{2}\times BC\times AM=\dfrac{1}{2}\times 5\times \sqrt{x(5-x)}=\dfrac{5}{2}\sqrt{x(5-x)}[/tex]
Par conséquent,
l'aire (en cm²) de la partie non grisée = [tex]\boxed{\dfrac{25\pi}{8}-\dfrac{5}{2}\sqrt{x(5-x)}}[/tex]
3) a) La fonction u est définie par u(x) = x(5-x) = 5x - x²
u est donc une fonction polynôme du second degré possédant un maximum car le coefficient de x² est négatif (il vaut -1).
Ce maximum se produit si x = 5/2 (centre de l'intervalle [0 ; 5])
La valeur de ce maximum est u(5/2) = 25/4
D'où le tableau de variation suivant sur l'intervalle [0 ; 5]
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|}x&0&&\frac{5}{2}&&5\\&&&&&\\u(x)&0&\nearrow&\frac{25}{4}&\searrow&0\\ \end{array}[/tex]
b) La fonction racine carrée est strictement croissante sur l'intervalle [0 ;
+00[.
Donc la fonction racine carrée est strictement croissante sur l'intervalle [0 ;
5].
La fonction [tex]v=\sqrt{u}[/tex] est la composée de la fonction racine carrée et de la fonction u.
Puisque la fonction racine carrée est strictement croissante, la fonction v aura les mêmes variations que la fonction u.
D'où le tableau de variations de la fonction v sur l'intervalle [0 ; 5]
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|}x&0&&\frac{5}{2}&&5\\&&&&&\\v(x)&0&\nearrow&\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}&\searrow&0\\ \end{array}[/tex]
[tex]4)\ f=\dfrac{25\pi}{8}-\dfrac{5}{2}v[/tex]
Puisque la fonction v a été multipliée par un nombre négatif et augmentée d'un nombre positif, les variations de f seront inversées par rapport à celles de v.
D'où le tableau de variations de f sur [0 ; 5[ :
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|}x&0&&\frac{5}{2}&&5\\&&&&&\\f(x)&\approx9,8&\searrow&\approx3,6&\nearrow&\approx9,8\\ \end{array}[/tex]
Par conséquent, la valeur maximale de l'aire de la partie non hachurée est égale à 9,8 cm².
Cette valeur maximale se produit lorsque x = 0 ou x = 5, soit lorsque le point M est en B ou en C.
La valeur minimale de l'aire de la partie non hachurée est égale à 3,6 cm².
Cette valeur minimale se produit lorsque x = 5/2, soit lorsque M est au centre du demi-cercle.
[tex]5)\ a)\ \dfrac{1}{BM}+\dfrac{1}{CM}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{5-x}\\\\\dfrac{1}{BM}+\dfrac{1}{CM}=\dfrac{(5-x)+x}{x(5-x)}\\\\\dfrac{1}{BM}+\dfrac{1}{CM}=\dfrac{5}{x(5-x)}\\\\\boxed{\dfrac{1}{BM}+\dfrac{1}{CM}=\dfrac{5}{u(x)}}[/tex]
b) Du tableau de variation de la fonction u, nous pouvons déduire celui de la fonction g définie par g(x) = 5/u(x)
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|}x&0&&\frac{5}{2}&&5\\&&&&&\\u(x)&0&\nearrow&\frac{25}{4}&\searrow&0\\&&&&&\\g(x)&+\infty&\searrow&\frac{4}{5}=0,8&\nearrow&+\infty\\ \end{array}[/tex]
c) On en déduit que la somme 1/BM + 1/CM passe par un minimum égal à 0,8.
1) a) Par Pythagore dans le triangle ABM rectangle en M, nous avons :
AB² = AM² + BM²
Par Pythagore dans le triangle AMC rectangle en M, nous avons :
AC² = AM² + MC²
Par Pythagore dans le triangle ABC rectangle en A, nous avons :
BC² = AB² + AC²
BC² = (AM² + BM²) + (AM² + MC²)
= AM² + BM² + AM² + MC²
= 2AM² + BM² + MC²
Par conséquent, BC² = 2AM² + BM² + MC²
b) Nous savons que
BC=5,
BM = x
MC = BC - BM = 5-x
D'où, BC² = 2AM² + BM² + MC² ==> 5² = 2AM² + x² + (5-x)²
25 = 2AM² + x² + (25 - 10x + x²)
25 = 2AM² + 25 - 10x + 2x²
2AM² = 25 - 25 + 10x - 2x²
2AM² = 10x - 2x²
2AM² = 2(5x - x²)
AM² = 5x - x²
AM² = x(5 - x)
2) Aire de la partie non grisée = aire du demi-cercle - aire triangle grisé.
Or l'aire du demi-cercle de diamètre 5, soit de rayon 5/2, est égale à
[tex]\dfrac{1}{2}\times\pi\times(\dfrac{5}{2})^2=\dfrac{1}{2}\times\pi\times\dfrac{25}{4}=\pi\times\dfrac{25}{8}=\dfrac{25\pi}{8}[/tex]
Aire du triangle grisé = [tex]\dfrac{1}{2}\times BC\times AM=\dfrac{1}{2}\times 5\times \sqrt{x(5-x)}=\dfrac{5}{2}\sqrt{x(5-x)}[/tex]
Par conséquent,
l'aire (en cm²) de la partie non grisée = [tex]\boxed{\dfrac{25\pi}{8}-\dfrac{5}{2}\sqrt{x(5-x)}}[/tex]
3) a) La fonction u est définie par u(x) = x(5-x) = 5x - x²
u est donc une fonction polynôme du second degré possédant un maximum car le coefficient de x² est négatif (il vaut -1).
Ce maximum se produit si x = 5/2 (centre de l'intervalle [0 ; 5])
La valeur de ce maximum est u(5/2) = 25/4
D'où le tableau de variation suivant sur l'intervalle [0 ; 5]
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|}x&0&&\frac{5}{2}&&5\\&&&&&\\u(x)&0&\nearrow&\frac{25}{4}&\searrow&0\\ \end{array}[/tex]
b) La fonction racine carrée est strictement croissante sur l'intervalle [0 ;
+00[.
Donc la fonction racine carrée est strictement croissante sur l'intervalle [0 ;
5].
La fonction [tex]v=\sqrt{u}[/tex] est la composée de la fonction racine carrée et de la fonction u.
Puisque la fonction racine carrée est strictement croissante, la fonction v aura les mêmes variations que la fonction u.
D'où le tableau de variations de la fonction v sur l'intervalle [0 ; 5]
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|}x&0&&\frac{5}{2}&&5\\&&&&&\\v(x)&0&\nearrow&\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}&\searrow&0\\ \end{array}[/tex]
[tex]4)\ f=\dfrac{25\pi}{8}-\dfrac{5}{2}v[/tex]
Puisque la fonction v a été multipliée par un nombre négatif et augmentée d'un nombre positif, les variations de f seront inversées par rapport à celles de v.
D'où le tableau de variations de f sur [0 ; 5[ :
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|}x&0&&\frac{5}{2}&&5\\&&&&&\\f(x)&\approx9,8&\searrow&\approx3,6&\nearrow&\approx9,8\\ \end{array}[/tex]
Par conséquent, la valeur maximale de l'aire de la partie non hachurée est égale à 9,8 cm².
Cette valeur maximale se produit lorsque x = 0 ou x = 5, soit lorsque le point M est en B ou en C.
La valeur minimale de l'aire de la partie non hachurée est égale à 3,6 cm².
Cette valeur minimale se produit lorsque x = 5/2, soit lorsque M est au centre du demi-cercle.
[tex]5)\ a)\ \dfrac{1}{BM}+\dfrac{1}{CM}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{5-x}\\\\\dfrac{1}{BM}+\dfrac{1}{CM}=\dfrac{(5-x)+x}{x(5-x)}\\\\\dfrac{1}{BM}+\dfrac{1}{CM}=\dfrac{5}{x(5-x)}\\\\\boxed{\dfrac{1}{BM}+\dfrac{1}{CM}=\dfrac{5}{u(x)}}[/tex]
b) Du tableau de variation de la fonction u, nous pouvons déduire celui de la fonction g définie par g(x) = 5/u(x)
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|}x&0&&\frac{5}{2}&&5\\&&&&&\\u(x)&0&\nearrow&\frac{25}{4}&\searrow&0\\&&&&&\\g(x)&+\infty&\searrow&\frac{4}{5}=0,8&\nearrow&+\infty\\ \end{array}[/tex]
c) On en déduit que la somme 1/BM + 1/CM passe par un minimum égal à 0,8.
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