Bonjour Misscamille600
Figure en pièce jointe.
Soit le point F, projeté orthogonal de C sur (DE).
Traçons la droite (AM) qui coupera la droite (DC) au point G.
(CG) est parallèle à (AB) car ABCD est un parallélogramme.
Les points A, M, G et B, M, C sont alignés dans le même ordre.
Pat Thalès, nous obtenons :
[tex]\dfrac{AM}{MG}=\dfrac{BM}{MC}=\dfrac{AB}{CG}[/tex]
Or M est le milieu de [BC] ==> BM/MC = 1
D'où :
[tex]\dfrac{AB}{CG}=1\\\\\Longrightarrow AB=CG[/tex]
Mais AB = DC car ABCD est un parallélogramme.
Donc DC = CG.
Nous en déduisons que le point C est le milieu de [DG].
De plus,
(FC) est perpendiculaire à (ED) car F est le projeté orthogonal de C sur (DE)
(EG) est perpendiculaire à (ED) car E est le projeté orthogonal de D sur (AM), soit sur (EG)
Par conséquent, (FC) est parallèle à (EG) car deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles entre elles.
Or la réciproque du théorème des milieux affirme que :
Si une droite passe par le milieu d'un des côtés d'un triangle et si elle est parallèle à un autre côté alors elle coupe le troisième côté en son milieu.
Dans le triangle DGE, la droite (CF) passe par le milieu du côté [DG]. Elle est parallèle au côté [EG] de ce triangle.
D'où, cette droite (CF) coupe le côté [DE] en son milieu F.
Puisque la droite (CF) est perpendiculaire à [DE] en son milieu F, on en déduit que (CF) est la médiatrice de [DE].
Or tout point de la médiatrice d'un segment est à égale distance des extrémités de ce segment.
Puisque C est un point de la médiatrice (CF) du segment [DE], nous en déduisons que C est à égale distance de D et de E.
Par conséquent, CE = CD
