Bonjour
Kimobu
Selon les hypothèses, nous avons :
[tex]x+\dfrac{1}{y}=y+\dfrac{1}{z}\\\\x-y=\dfrac{1}{z}-\dfrac{1}{y}\\\\x-y=\dfrac{y}{yz}-\dfrac{z}{yz}\\\\\\\boxed{x-y=\dfrac{y-z}{yz}}[/tex]
De même,
[tex]y+\dfrac{1}{z}=z+\dfrac{1}{x}\\\\y-z=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{z}\\\\y-z=\dfrac{z}{xz}-\dfrac{x}{xz}\\\\\\\boxed{y-z=\dfrac{z-x}{xz}}[/tex]
et
[tex]x+\dfrac{1}{y}=z+\dfrac{1}{x}\\\\x-z=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}\\\\x-z=\dfrac{y}{xy}-\dfrac{x}{xy}\\\\\\\boxed{x-z=\dfrac{y-x}{xy}}[/tex]
Multiplions membres à membres les égalités encadrées.
[tex](x-y)(y-z)(x-z)=(\dfrac{y-z}{yz})(\dfrac{z-x}{xz})\dfrac{y-x}{xy}\\\\\\(x-y)(y-z)(x-z)=\dfrac{(y-z)(z-x)(y-x)}{x^2y^2z^2}\\\\\\(x-y)(y-z)(x-z)=\dfrac{(y-z)(x-z)(x-y)}{x^2y^2z^2}[/tex]
Or
x ≠ y ==> x-y ≠ 0
x ≠ z ==> x-z ≠ 0
y ≠ z ==> y-z ≠ 0
Donc (x - y)(x - z)(y - z) ≠ 0
Nous pouvons alors diviser les deux membres de la dernière égalité
par (x-y)(x-z)(y-z).
D'où
[tex]1=\dfrac{1}{x^2y^2z^2}\\\\\\x^2y^2z^2 = 1\\\\(xyz)^2=1\\\\xyz=1\ \ ou\ \ xyz=-1\\\\\Longrightarrow\boxed{|xyz|=1}[/tex]
