Bonjour Yacine931
Question 3
[tex]d_n=|z_{n+1}-z_n|[/tex]
a) Pour tout entier naturel n, [tex]d_n=A_nA_{n+1}[/tex]
[tex]b)\ d_0=|z_1-z_0|=|(1+i\dfrac{\sqrt{3}}{3})-1|=|i\dfrac{\sqrt{3}}{3}|=\dfrac{\sqrt{3}}{3}[/tex]
[tex]c)\ z_{n+2}-z_{n+1}=(1+i\dfrac{\sqrt{3}}{3})z_{n+1}-(1+i\dfrac{\sqrt{3}}{3})z_{n}\\\\\\\boxed{z_{n+2}-z_{n+1}=(1+i\dfrac{\sqrt{3}}{3})(z_{n+1}-z_{n})}[/tex]
d) Montrons que la suite (dn) est géométrique.
[tex]d_{n+1}=|z_{n+2}-z_{n+1}|\\\\ d_{n+1}=|(1+i\dfrac{\sqrt{3}}{3})(z_{n+1}-z_{n})|\\\\ d_{n+1}=|1+i\dfrac{\sqrt{3}}{3}|\times|z_{n+1}-z_{n}\\\\ d_{n+1}=|1+i\dfrac{\sqrt{3}}{3}|\times d_n[/tex]
Or par la question (1), [tex]z_1=1+i\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}[\cos(\dfrac{\pi}{6})+i\sin(\dfrac{\pi}{6})][/tex]
Donc [tex]|1+i\dfrac{\sqrt{3}}{3}|=\dfrac{2}{\sqrt{3}}[/tex]
Par conséquent,[tex]d_{n+1}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\times d_n[/tex]
Nous en déduisons que la suite (dn) est une suite géométrique de raison [tex]\dfrac{2}{\sqrt{3}}[/tex] et dont le premier terme est [tex]d_0=\dfrac{\sqrt{3}}{3}[/tex]
D'où [tex]\boxed{d_n=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\times(\dfrac{2}{\sqrt{3}})^n}[/tex]
e) [tex]l_n[/tex] est la somme de n+1 premiers termes de la suite géométrique (dn)
Donc :
[tex]l_n=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\times\dfrac{1-(\dfrac{2}{\sqrt{3}})^n}{1-\dfrac{2}{\sqrt{3}}}\\\\l_n=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\times\dfrac{1-(\dfrac{2}{\sqrt{3}})^n}{\dfrac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}}}\\\\l_n=\dfrac{\sqrt{3}\times\sqrt{3}}{3}\times\dfrac{1-(\dfrac{2}{\sqrt{3}})^n}{\sqrt{3}-2}}\\\\l_n=\dfrac{1-(\dfrac{2}{\sqrt{3}})^n}{\sqrt{3}-2}}\\\\\\\boxed{l_n=\dfrac{(\dfrac{2}{\sqrt{3}})^n-1}{2-\sqrt{3}}}}[/tex]
[tex]f)\ \lim\limits_{n\to+\infty}(\dfrac{2}{\sqrt{3}})^n=+\infty\ \ car\ \ \dfrac{2}{\sqrt{3}}\ \textgreater \ 1\\\\et\ \ 2-\sqrt{3}\ \textgreater \ 0\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}l_n=+\infty}[/tex]
Par conséquent, la longueur de la ligne polygonale formée par la suite des segments [tex][A_1A_{i+1}][/tex] (i ∈ N) tend vers l'infini si le nombre de segments augmente indéfiniment.