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Ikramtout
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Bonjour, j'ai un exercice, pouvez-vous m'aidez SVP

Pour quels nombres premiers p l'entier naturel 7p+1 est un carré parfait ?

Merci d'avance :)

Sagot :

Scoladan
Bonjour,

7p+1 = k^2
7p = (k-1)(k+1)

donc 7 divise (k-1) ou (k+1)

1) 7 divise k-1 ==> k-1=7a
soit k=7a+1
k^2 - 1 = 49a^2 + 14a
et p = (k^2-1)/7 = 7a^2 + 2a

soit p=a(7a-2)

Or p premier ==> a=1 ==> 7a+2=9

p=9 impossible non premier


2) 7 divise (k+1)
k+1 = 7b
k = 7b -1
k^2 - 1 = 49b^2 - 14b

et p = (k^2 -1)/7 = 7b^2 - 2b = b(7b-2)

p premier ==> b=1 ==> p=7b-2=5

Donc 1 seule solution p=5

soit 7p+1=36=6^2
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