1) Ils souhaitent s'entendre sur un volume de 16 litres de lessive.
a) Prix de vente unitaire proposé par le producteur :
P(16) = 16² + 2.5 * 16 + 60 = 356 centimes d'euros soit 3,56 € le litre
⇒ Prix total facturé : 16 * 3,56 = 56.96 €
b) Prix d'achat unitaire souhaité par le consommateur :
C(16) = 2*16² - 13*16 + 25 = 329 centimes d'euros soit 3.29 € le litre
⇒ Prix total facturé : 16 * 3.29 = 52.64 €
c) Ces deux personnes ne feront pas affaire s'ils ne s'entendent pas sur un prix de facturation identique or actuellement ils ne sont pas d'accord sur le prix de facturation donc ils ne feront pas affaire ... (le client n'acceptera pas de payer plus cher que ce qu'il désire)
d) Par un simple produit en croix, on peut déterminer le taux d'évolution que devra appliquer le producteur pour vendre au prix du consommateur :
56.96 ⇒ 100 %
52.64 ⇒ (52.64 * 100) / 56.96 ≈ 92.42 %
Donc le producteur doit baisser son prix de 7.58 % pour s'aligner au prix du consommateur.
2) On reprend les questions précédentes pour un volume de 22 L :
a) Prix de vente unitaire proposé par le producteur :
P(22) = 22² + 2.5 * 22 + 60 = 599 centimes d'euros soit 5,99 € le litre
⇒ Prix total facturé : 22 * 5,99 = 131.78 €
b) Prix d'achat unitaire souhaité par le consommateur :
C(22) = 2*22² - 13*22 + 25 = 707 centimes d'euros soit 7.07 € le litre
⇒ Prix total facturé : 22 * 7.07 = 155.54 €
c) Ces deux personnes feront affaire car le producteur désire vendre à un prix inférieur à celui désiré par le client donc il suffira au client de s'aligner au prix de vente du producteur (et par conséquent de payer moins cher !).
Cependant, le producteur sera perdant dans l'affaire ...
d) Par un simple produit en croix, on peut déterminer le taux d'évolution que devra appliquer le producteur pour vendre au prix du consommateur :
131.78 ⇒ 100 %
155.54 ⇒ (155.54 * 100) / 131.78 ≈ 118.03 %
Donc le producteur doit augmenter son prix de 18.03 % pour s'aligner au prix du consommateur.
3) Egalité entre offre et demande
a) voir pièce jointe
Je te laisse tracer les deux courbes en plaçant les points du tableau. (tracer pour un volume positif !)
Je conseille v ∈ [0;30] et prix ∈ [0 ; 1500] centimes d'€
b) Il y a une erreur sur la question du sujet, ils veulent plutôt dire "un prix unitaire de 700 centimes d'euros" plutôt que "de 700 €"
Après avoir tracé les deux courbes sur un même graphique, tracer un trait horizontal à 700 centimes d'euros et relever les valeurs de v pour lesquelles cette droite intersecte les deux courbes.
(C'est à dire relever vp et vc tels que P(vp) = 700 centimes d'€ et C(vc) = 700 centimes d'€)
Graphiquement, on lit approximativement vp = 24 L et vc = 22 L.
c) Graphiquement, cela correspond à l'intersection des deux courbes.
On lit : v₀ = 17.5 L et p₀ = 400 centimes d'€
d) D'une part :
C(v) - P(v) = 2v² - 13v + 25 - v² - 2.5v - 60
⇔ C(v) - P(v) = v² - 15.5v - 35
D'autre part :
(v-17.5)(v+2) = v² + 2v - 17.5v - 35 = v² - 15.5v - 35
Donc C(v) - P(v) = (v-17.5)(v+2)
A v₀, on a P(v₀) = C(v₀) donc C(v₀) - P(v₀) = 0
Donc v₀ correspond à la valeur positive de v qui annule C(v) - P(v)
(v-17.5)(v+2) = 0 si :
Soit (v-17.5) = 0 ⇔ v = 17.5
Soit (v+2) = 0 ⇔ v = -2
Seul la valeur positive est pertinente donc v₀ = 17.5 L
On calcul p₀ avec la formule de P(v) (au choix entre P(v) et C(v))
p₀ = C(v₀) = P(v₀) = 17.5² + 2.5 * 17.5 + 60 = 410 centimes d'euros
Soit 4.10 € le litre de lessive.
