Bonjour
Melizoou
Exercice 1
1) Au départ, il y a 1000 donateurs.
Puisque 20% d'entre eux ne renouvellent pas leur don, il en reste 80 %, soit (80/100) * 1000 = 800 donateurs.
A ces 800 donateurs, s'ajoutent 300 nouveaux.
800 + 300 = 1100
D'où
[tex]\boxed{u_2=1100}[/tex]
Par une démarche analogue, nous avons :
[tex]u_3=\dfrac{80}{100}\times1100+300=880+300=1180\Longrightarrow\boxed{u_3=1180}[/tex]
2) A la lumière des calculs précédent, nous pourrions dire que 80 % de [tex]u_n[/tex] ne renouvellent pas leur don, soit [tex]0,8\times u_n[/tex].
A ces donateurs s'ajoutent 300 nouveaux.
Par conséquent,
[tex]\boxed{u_{n+1}=0,8\times u_n+800}[/tex]
3) Vn = 1500 - Un
[tex]a)\ v_{n+1}=1500-u_{n+1}\\\\v_{n+1}=1500-(0, 8u_n+300)\\\\v_{n+1}= 1500-0, 8u_n-300\\\\v_{n+1}=1200-0, 8u_n\\\\v_{n+1}=0,8\times1500-0, 8u_n\\\\v_{n+1}=0, 8(1500-u_n)\\\\\boxed{v_{n+1}=0, 8v_n}[/tex]
D'où la suite (Vn) est une suite géométrique de raison 0,8.
Son premier terme est [tex]v_1=1500-u_1=1500-1000=\boxed{500}[/tex]
b) Selon la formule explicite de Vn, nous avons :
[tex]v_n=v_1\times q^{n-1}\Longrightarrow\boxed{v_n=500\times0,8^{n-1}}[/tex]
[tex]c)\ v_n=1500-u_n\Longrightarrow u_n=1500-v_n\\\\\Longrightarrow\boxed{u_n=1500-500\times0,8^{n-1}}[/tex]
[tex]d)\ u_{10}=1500-500\times0,8^{9}\approx1433[/tex]
Dans 10 ans, il y aura 1433 donateurs.
4) La suite (Vn) est décroissante car son premier terme V1=500 > 0 et sa raison 0,8 est telle que 0 < 0,8 < 1.
Or Un = 1500 - Vn
Donc la suite (Un) est croissante.
[tex]5)\ \lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\lim\limits_{n\to+\infty}(1500-500\times0,8^{n-1})\\\\Or\ \ \lim\limits_{n\to+\infty}0,8^{n-1}=0\ car\ 0<0,8<1\\\\Donc\ \ \lim\limits_{n\to+\infty}u_n=1500-0\\\\\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=1500}[/tex]
A très long terme, l'association peut espérer avoir 1500 donateurs.
Exercice 3
Les données de l'énoncé peuvent se traduire par :
[tex]P(V)=\dfrac{1}{2}=0,5\\\\P_M(V)=\dfrac{1}{5}=0,2\\\\P(M)=0,6[/tex]
Il faut déterminer [tex]P_V(M)[/tex]
[tex]P_V(M)=\dfrac{P(V\cap M)}{P(V)}\\\\P_V(M)=\dfrac{P(V\cap M)}{0,5}[/tex]
Or
[tex]P_M(V)=0,2\Longleftrightarrow\dfrac{P(V\cap M)}{P(M)}=0,2\Longleftrightarrow\dfrac{P(V\cap M)}{0,6}=0,2\\\\\Longrightarrow P(V\cap M)=0,2\times0,6\\\\\Longrightarrow \boxed{P(V\cap M)=0,12}[/tex]
D'où,
[tex]P_V(M)=\dfrac{P(V\cap M)}{0,5}=\dfrac{0,12}{0,5}=0,24\\\\\boxed{P_V(M)=0,24}[/tex]
Par conséquent,
la probabilité pour qu'une personne vaccinée attrape malgré tout cette maladie est égale à 0,24.
