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Bonjour ,
(photo de la figure) : http://i.skyrock.net/6831/82096831/pics/3233041285_2_2_lQGFLwDD.jpg

Dans le triangle ABC, les points M,N et P sont les milieux respectifs des segments [AB], [AC] et [BC]. Le point Q est le milieu de [MN]. On souhaite montrer que le point Q est aussi le milieu du segment [AP]

1. Avec des coordonnées
On se place dans le repère (A,B,C)

A) lire les coordonnées des points A,B et C puis calculer les coordonnées des points M,N,P et Q
B) conclure

2. Avec une configuration du plan

A) Justifier que le quadrilatère AMPN est un parallélogramme
B) Conclure

(ne me rédigez pas tout, je veux juste comprendre comment on peut conclure (dans le cas 1 et 2) que Q est le milieu de AP)
Mercii d'avance

Sagot :

Esefiha
1.
a) Dans le repère (A,B,C) les coordonnées sont :
A (0;0)
B (1;0)
C (0;1)

M est le milieu de [AB] donc
M ([xa+xb]/2;[ya+yb]/2) = ([0+1]/2;[0+0]/2)
M (0.5;0)

N est le milieu de [AC]
N ([xa+xC]/2;[ya+yC]/2) = ([0+0]/2;[0+1]/2)
N (0;0.5)

P est le milieu de [BC]
P ([xb+xc]/2;[yb+yc]/2) = ([1+0]/2;[0+1]/2)
P (0.5;0.5)

Si Q, milieu de [MN] est le milieu de [AP] alors :
(xm+xn)/2 = (xa+xp)/2 et (ym+yn)/2 = (ya+yp)/2
(0+0.5)/2 = (0+0.5)/2 et (0+0.5)/2 = (0+0.5)/2
0.25 = 0.25 et 0.25 = 0.25

B) Donc Q est bien le milieu de [AP]

2.
A) On utilise le théorème des milieux :
On sait que dans le triangle ABC,
N est le milieu de [AC]
P est le milieu de [BC]
Or, dans un triangle, la droite qui passe par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté.
Donc les droites (NP) et (AM) sont parallèles.


On sait que dans le triangle ABC,
M est le milieu de [AB]
P est le milieu de [BC]
Or, dan sun triangle, la droite qui passe par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté.
Donc les droites (MP) et (AN) sont parallèles.

Le quadrilatère AMPN a ses cotés opposés parallèles donc AMPN est un parallélogramme.

B) On sait que Q est le milieu de [MN] donc Q est le milieu du parallélogramme.
Or, le milieu d'un parallélogramme est le milieu de ses 2 diagonales.
Donc Q est le milieu de [AP]
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