Ex 1 :
a.
[tex] u_{n} =n- 2^{n} \\
u_{n+1} - u_{n} = (n+1) - 2^{(n+1)} - n + 2^{n} \\
=1 - 2*2^{n} + 2^{n} \\
= 1 +2^{n}(1-2) = 1 -2^{n}
[/tex]
Pour tout n ≥ 1, n ∈ IN , [tex]1 -2^{n} < 0[/tex]
Donc
[tex] u_{n+1} - u_{n} < 0[/tex]
D'où
[tex] u_{n+1} < u_{n} [/tex]
Donc la suite (Un) est strictement décroissante.
b.
[tex] u_{n}= \frac{10}{3^n} \ \textgreater \ 0 \\ \\
\frac{u_{n+1}}{u_{n}} = \frac{10/3^n^+^1}{10/3^n} = \frac{10}{3^n^+^1} * \frac{3^n}{10} = 3^{n-n-1} = \frac{1}{3} \ \textless \ 1[/tex]
Donc la suite (Un) est strictement décroissante.
c.
[tex] \left \{ {{ u_{0}=1 } \atop {u_{n+1}=u_{n}+n}} \right. \\ \\
u_{1}=1 \\ u_{2}=2 \\ u_{3}=4 \\ ...[/tex]
[tex]u_{n+1}=u_{n}+n \\
u_{n+1}-u_{n}=n[/tex]
Pour n > 0, [tex]u_{n+1}-u_{n} \ \textgreater \ 0[/tex]
Donc [tex]u_{n+1}\ \textgreater \ u_{n}[/tex]
Donc (Un) est strictement croissante.
d.
[tex] \left \{ {{ u_{0}=1 } \atop {u_{n+1}= \frac{2}{u_{n}} }} \right. \\ \\
u_{1} = 2 \\ u_{2} = 1 \\ u_{3} = 2 \\ ... \\
u_{n+1}= \frac{2}{u_{n}} \\ u_{n+2}= \frac{2}{u_{n+1}} = \frac{2}{\frac{2}{u_{n}}} = u_{n}[/tex]
Donc (Un) est une suite périodique de période 2.
Ex 2 :
On calcule les premiers termes de la suite :
[tex] u_{0} = 1 \\ u_{1} = 1/2 \\ u_{2} = 1/3 \\ u_{3} = 1/4[/tex]
On conjecture que (Un) est de la forme : (Un) = 1/(n+1)
Je ne vois plus comment faire pour le prouver :/
