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J'ai besoin d'aide, soit la fonction homographique définie sur R\0/ par:
f(x)=2/x On appelle Cf la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O;vecteur i; vecteur j) du plan et A le point de coordonnées (4;5). Démontrer qu'il existe deux points M et N appartenant à Cf tels que A soit le milieu de [MN]. Merci à ceux qui essaieront de m'aider j'ai vraiment du mal sur ce genre d'exercice.

Sagot :

Scoladan
Bonjour,

M(xM;yM) appartient à Cf ==> yM = 2/xM

N(xN;yN) appartient à Cf ==> yN = 2/xN

A milieu de [MN]

==> (xM + xN)/2 = 4  et (yM + yN)/2 = 5


Soit :

xM + xN = 8

et

yM + yN = 10

<=>

xM + xN = 8 (eq.1)

et

2/xM + 2/xN = 10 (eq.2)


eq 2 <=> (2xM + 2xN)/xM.xN= 10

<=> xM + xN = 5 xMxN

D'après Eq.1 xM+xN = 8

Donc xM + xN = 5 xMxN
<=> 8 = 5 xMxN

<=> xMxN = 8/5

On a donc 2 inconnues xM et xN dont la somme S vaut 8 et le produit P vaut 8/5.

xM et xN sont donc les deux solutions de l'équation :

x^2 - Sx + P = 0

soit x^2 - 8x + 8/5 = 0

On a démontré qu'il y avait bien 2 points M et N / A milieu de |MN]

delta = 64 - 4x8/5) = 64 - 32/5 = 576/10 = 24^2/10

Et xM = (8 + 24/racine(10))/2 et xN = etc

soit yM = 2/xM = ... et yN = 2xN = ...
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