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Sagot :
Bonjour
Bluenoodles
En appliquant la règle de L'Hospital,
[tex]\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{4}}\dfrac{2\cos x-\sqrt{2}}{2\sin x-\sqrt{2}}\\\\\\=\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{4}}\dfrac{(2\cos x-\sqrt{2})'}{(2\sin x-\sqrt{2})'}\\\\\\=\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{4}}\dfrac{-2\sin x-0}{2\cos x-0}\\\\\\=\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{4}}\dfrac{-2\sin x}{2\cos x}\\\\\\=\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{4}}\dfrac{-\sin x}{\cos x}\\\\\\=\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{4}}-\tan x\\\\\\=-\tan(\dfrac{\pi}{4})\\\\=-1[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed{\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{4}}\dfrac{2\cos x-\sqrt{2}}{2\sin x-\sqrt{2}}=-1}[/tex]
[tex]\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^{7}-128}{x^5-32}=\lim\limits_{x\to2}\dfrac{(x^{7}-128)'}{(x^5-32)'}=\lim\limits_{x\to2}\dfrac{7x^6-0}{5x^4-0}=\lim\limits_{x\to2}\dfrac{7x^6}{5x^4}\\\\\\=\lim\limits_{x\to2}\dfrac{7}{5}\times\dfrac{x^6}{x^4}=\lim\limits_{x\to2}(\dfrac{7}{5}x^2)=\dfrac{7}{5}\times2^2=\dfrac{7}{5}\times4=\dfrac{28}{5}=5,6[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed{\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^{7}-128}{x^5-32}=\dfrac{28}{5}=5,6}[/tex]
En appliquant la règle de L'Hospital,
[tex]\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{4}}\dfrac{2\cos x-\sqrt{2}}{2\sin x-\sqrt{2}}\\\\\\=\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{4}}\dfrac{(2\cos x-\sqrt{2})'}{(2\sin x-\sqrt{2})'}\\\\\\=\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{4}}\dfrac{-2\sin x-0}{2\cos x-0}\\\\\\=\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{4}}\dfrac{-2\sin x}{2\cos x}\\\\\\=\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{4}}\dfrac{-\sin x}{\cos x}\\\\\\=\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{4}}-\tan x\\\\\\=-\tan(\dfrac{\pi}{4})\\\\=-1[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed{\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{4}}\dfrac{2\cos x-\sqrt{2}}{2\sin x-\sqrt{2}}=-1}[/tex]
[tex]\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^{7}-128}{x^5-32}=\lim\limits_{x\to2}\dfrac{(x^{7}-128)'}{(x^5-32)'}=\lim\limits_{x\to2}\dfrac{7x^6-0}{5x^4-0}=\lim\limits_{x\to2}\dfrac{7x^6}{5x^4}\\\\\\=\lim\limits_{x\to2}\dfrac{7}{5}\times\dfrac{x^6}{x^4}=\lim\limits_{x\to2}(\dfrac{7}{5}x^2)=\dfrac{7}{5}\times2^2=\dfrac{7}{5}\times4=\dfrac{28}{5}=5,6[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed{\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^{7}-128}{x^5-32}=\dfrac{28}{5}=5,6}[/tex]
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