Bonjour
Sindycally
[tex]f(x)=\dfrac{3-2x}{x+2}\ \ avec\ \ x\in\ ]-2;+\infty[[/tex]
[tex]1)\ f(x)\ge 0\\\\\dfrac{3-2x}{x+2}\ge0\\\\Or\ x\in\ ]-2;+\infty[\Longrightarrow x\ \textgreater \ -2\Longrightarrow x+2\ \textgreater \ 0\\\\Donc\ \dfrac{3-2x}{x+2}\ge0\ avec\ x\ \textgreater \ -2\Longleftrightarrow3-2x\ge0\ avec\ x\ \textgreater \ -2\\\\\Longleftrightarrow2x\le3\ avec\ x\ \textgreater \ -2\\\\\Longleftrightarrow x\le\dfrac{3}{2}\ avec\ x\ \textgreater \ -2\\\\\Longleftrightarrow -2\ \textless \ x\le\dfrac{3}{2}[/tex]
Par conséquent,
l'ensemble des solutions de l'inéquation f(x) ≥ 0 est [tex]\boxed{S=]-2;\dfrac{3}{2}]}[/tex]
2) L'abscisse du point d'intersection de la courbe Cf avec l'axe des abscisses est la solution de l'équation f(x)=0.
[tex]f(x)=0\\\\\dfrac{3-2x}{x+2}=0\\\\3-2x=0\\2x=3\\\\x=\dfrac{3}{2}[/tex]
D'où les coordonnées du point d'intersection de la courbe Cf avec l'axe des abscisses sont (3/2 ; 0).
L'ordonnée du point d'intersection de la courbe Cf avec l'axe des ordonnées se détermine en calculant f(0).
[tex]f(x)=\dfrac{3-2x}{x+2}\\\\f(0)=\dfrac{3-2\times0}{0+2}\\\\f(0)=\dfrac{3-0}{2}\\\\f(0)=\dfrac{3}{2}[/tex]
D'où les coordonnées du point d'intersection de la courbe Cf avec l'axe des ordonnées sont (0 ; 3/2).
[tex]3)\ f(x)=\dfrac{3-2x}{x+2}\\\\f(x)=\dfrac{-2x+3}{x+2}\\\\f(x)=\dfrac{-2x-4+7}{x+2}\\\\f(x)=\dfrac{-2(x+2)+7}{x+2}\\\\f(x)=\dfrac{-2(x+2)}{x+2}+\dfrac{7}{x+2}\\\\\boxed{f(x)=-2+\dfrac{7}{x+2}}[/tex]
Par conséquent, a = -2 et b = 7
4) La fonction f est décroissante sur I car f est le translaté de la fonction inverse qui est décroissante sur ]0 ; +oo[.
Tableau de valeurs :
[tex]\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} x&-1&1&3&5&7&9&11\\f(x)&5&0,33&-0,6&-1&-1,22&-1,36&-1,46\\ \end{array}\\\\\\\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} x&13&15&17\\f(x)&-1,53&-1,59&-1,63\\ \end{array}[/tex]
5) Signe de f(x)-a
Comme nous savons que a=-2, nous devons étudier le signe de f(x)+2.
[tex]f(x)=-2+\dfrac{7}{x+2}\\\\f(x)+2=\dfrac{7}{x+2}\\\\Or\ x\in\ ]-2;+\infty[\Longrightarrow x>-2\Longrightarrow x+2>0\\\\et\ 7>0\\\\Donc\ \dfrac{7}{x+2}>0\\\\\Longrightarrow \boxed{f(x)+2>0}[/tex]
Nous en déduisons que la courbe Cf est située au-dessus de la droite (d) d'équation y = -2.
6 et 7) Graphiques en pièce jointe.
[tex]8)\ f(x)-g(x)=0\\\\(-2+\dfrac{7}{x+2})-(-x+4)=0\\\\-2+\dfrac{7}{x+2}+x-4=0\\\\\dfrac{7}{x+2}+x-6=0\\\\\dfrac{7+(x-6)(x+2)}{x+2}=0\\\\7+(x-6)(x+2)=0\\7+x^2+2x-6x-12=0\\x^2-4x-5=0\\(x^2-4x+4)-4-5=0\\(x-2)^2-9=0\\(x-2)^2-3^2=0\\\ [(x-2)+3][(x-2)-3]=0\\(x+1)(x-5)=0\\x+1=0\ \ ou\ \ x-5=0\\\boxed{x=-1\ \ ou\ \ x=5}[/tex]
9) Coordonnées des points d'intersection de la courbe Cf avec la droite (D).
g(-1) = -(-1) + 4 = 1 + 4 = 5
g(5) = -5 + 4 = -1
Par conséquent,
les coordonnées des points d'intersection de la courbe Cf avec la droite (D) sont (-1 ; 5) et (5 ; -1)
