1) On conjecture que la suite est croissante (voir image)
2) Un+1 - Un = Un+3n+5 - Un = 3n + 5
Or 3n + 5 > 0 pour tout n ∈ IN
Donc ∀ n ∈ IN, Un+1 - Un > 0 ⇔ Un+1 > Un
Donc la suite est strictement croissante.
3) Raisonnement par réccurence
On considère la propriété (Pn) : Un > n
Initialisation : U0 = 2 > 0 donc P1 est vraie
Hérédité :
On considère (Pn) vraie au rang n, vérifions si la propriété est vraie au rang (n+1) :
Un > n ⇔ Un + 5 > n + 5 ⇔ Un + 3n + 5 > n + 3n + 5
⇔ Un + 3n + 5 > 4n + 5 ⇔ Un+1 > 4n + 5
Or 4n + 5 > n pour tout n ∈ IN donc Un+1 > n
⇒La propriété est donc vraie au rang n+1
Donc la propriété est vraie ∀ n ∈ IN
