Bonjour
Noussahanouna
L'aire A d'un disque de rayon R est donné par la formule : [tex]A=\pi\times R^2[/tex]
Aire du demi-disque de diamètre [AB], donc de rayon égal à 5 :
[tex]\dfrac{1}{2}\times\pi \times 5^2=\dfrac{25\pi}{2}[/tex]
Aire du demi-disque de diamètre [AM], donc de rayon x/2 :
[tex]\dfrac{1}{2}\times\pi\times(\dfrac{x}{2}})^2=\dfrac{1}{2}\times\pi\times\dfrac{x^2}{4}}=\dfrac{\pi x^2}{8}[/tex]
Aire du demi-disque de diamètre [MB], donc de rayon (10-x)/2 :
[tex]\dfrac{1}{2}\times\pi\times(\dfrac{10-x}{2}})^2=\dfrac{1}{2}\times\pi\times\dfrac{(10-x)^2}{4}}=\dfrac{\pi (10-x)^2}{8}[/tex]
D'où, l'aire A(x) de la partie hachurée est égale à :
[tex]A(x)=\dfrac{25\pi}{2}-\dfrac{\pi x^2}{8}-\dfrac{\pi (10-x)^2}{8}\\\\A(x)=\dfrac{100\pi}{8}-\dfrac{\pi x^2}{8}-\dfrac{\pi (10-x)^2}{8}\\\\A(x)=\dfrac{\pi}{8}[100-x^2-(10-x)^2]\\\\A(x)=\dfrac{\pi}{8}[100-x^2-(100-20x+x^2)]\\\\A(x)=\dfrac{\pi}{8}(100-x^2-100+20x-x^2)\\\\\boxed{A(x)=\dfrac{\pi}{8}(-2x^2+20x)}[/tex]
Cette aire A(x) sera maximale si -2x² + 20x est maximal.
Or ce polynôme du second degré est maximal si [tex]x=\dfrac{-20}{2\times(-2)}=\dfrac{-20}{-4}=5[/tex]
Par conséquent, l'aire coloriée sera maximale si x = 5 (cm), soit lorsque le point M est le centre du demi-cercle de diamètre [AB]
Rem.:
Nous aurions pu trouver cette valeur de x par la dérivée.
(-2x² + 20x)' = -4x + 20
-4x + 20 = 0 ==> 4x = 20
==> x = 5
