Bonjour,
On a ABD qui est un triangle rectangle, donc d'après le théorème de Pythagore, on a :
BD² = AB²+AD²
BD² = 5²+4²
BD² = 25+16
BD = √41
De plus, on a (BC)//(AD) puisqu'elles sont toutes les deux perpendiculaires à (AB).
On a donc une configuration de Thales, on peut donc écrire le rapport suivant :
BC/AD = BE/BD = CE/CA
Donc BE = (BC×BD)/AD = (3√41)/4
On a également (BC)//(FE) puisque (FE) est perpendiculaire à (AB).
On a donc aussi une configuration de Thales dans le triangle ABD. On a donc le rapport suivant :
FE/AD = BE/BD = BF/BA
Donc on a :
FE = (BE×AD)/BD
FE = (3√41/4)×4/√41
FE = 3
Vérification :
Dans le triangle ABD, on a (FE)//(AD), donc d'après le théorème de Thalès :
BF/BA = BE/BD = FE/AD
BF = (BA×BE)/BD = (5×3√41/4)/√41 = 15√41/4×1/√41 = 15/4
D'apres le théorème de Pythagore, on a:
BE² = BF²+FE²
BE² - BF² = FE²
[(3√41)/4]² - (15/4)²= FE²
(9×41/16) - 225/16 = FE²
(369-225)/16 = FE²
144/16 = FE²
Donc FE² = 9, alors FE = √9 = 3
