2)b)f '(x) = 1/2 ( 1 -2/x² ) = 1/2 * (x²-2) / x sur l'intervalle [ √2; + ∞[ f est donc croissante
il est évident que √2<u2< u1<3/2
supposons maintenant que
√2<un+1< un<3/2 comme [√2 ; 3/2 ] ⊂ [ √2; + ∞[ alors
f(√2)<f(un+1)< f(un)<f(3/2) ou √2 < un+2< un+1< 17/12
et comme 3/2 = 18/12
√2 < un+2< un+1< 3/2 c'est la récurrence
3) un+1 - √2 - 1/2(un - √2)= 1/2( un +2/un) - 1/2un - √2/2
= 1/un - √2 /2 = 1/un - 1/√2
on a vu que
√2 < un donc 1/un < 1/√2 et 1/un - 1/√2 <0
d'où
un+1 - √2 < 1/2(un - √2)
d)de l'hypothèse de récurrence
un - 1/2 < (1/2)^n ( u0 - √2) on déduit que
un - √2 + ( √2 -1/2) < (1/2)^n ( u0 - √2)
un+1 - 1/2 = un+1 - √2 + ( √2 -1/2)< 1/2(un - √2) +( √2 -1/2)
un+1 - 1/2 < 1/2 [ (1/2)^n ( u0 - √2) - ( √2 -1/2)] +( √2 -1/2)
un+1 - 1/2 < (1/2)^(n+1) ( u0 - √2)] +1/2 ( √2 -1/2)]
désolée je ne peux aller plus loin
