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AIDEZ MOI SVP
Je bloque beaucoup sur mon DM de maths
Le carré ABCD étant donné on construit deux cercles C et C' tangents entre eux et centrés l'un sur [A,B] en I, l'autre sur [B,C] en J
On suppose AB=1 et AI=x
on se propose de déterminer x pour S, l'aire totale des deux disques soit minimale.
1)On pose CJ=y. exprimez y en fonction de x
2)exprimer l'aire S en fonction de x. On notera S=pi f(x)
3)Montrer que la dérivée de f peut s'écire sous la forme f'(x) = 2(x^2+x+2)(x^2+2x-1)/(x+1)^3
4)En déduire les variations de la fonction f sur l'intervalle [0;1].Calculer la valeur exacte du minimum de la fonction f.
5)Conclure.Justifier que lorsque S est minimale alors x = y. Faire une figure correspondante à l'aire minimale

Je remercie d'avance tous ceux qui pourront m'aider a résoudre cet exercice....

AIDEZ MOI SVP Je Bloque Beaucoup Sur Mon DM De Maths Le Carré ABCD Étant Donné On Construit Deux Cercles C Et C Tangents Entre Eux Et Centrés Lun Sur AB En I La class=

Sagot :

Laurance
1)IJ = AI + CJ  = x +  y 
et  IJ² = BI² + BJ²  = (1-x)² + (1-y)²  
(x+y)² = (1-x)² + (1-y)²  = 1+x²  +1+y² -2x -2y
x²+y²+2xy= x²+y²+2-2x-2y
xy = 1 -x - y 
xy +y = 1-x
y =(1-x) /(1+x) 
2)S = pix² + piy² = pi(x²+y²)      = pi( x²  + (1-x)² /(1+x)²  ) 
3) f '(x) =  2x +  2(1-x) /(1+x)  *  [  -1(1+x) -(1-x)*1 ] /(1+x)² ] 
=  [ 2x(1+x)^3 +2(1-x)(-2)] / (1+x)^3 
= 2[x+3x²+3x^3 +x^4 -2+2x] / (1+x)^3 
=2( x^4  + 3x^3 +3x² +3x -2)  /(1+x)^3 
maintenant
 (x²+x+2)(x²+2x-1)=x^4 +3x^3 +3x² +3x -2   c'est facile  à faire le calcul 
4)  il est évident que  (x+1)^3 et  x² +x +2  sont positifs 
reste  x² +2x -1  qui vaut  (x+1)²  -  2 donc qui  s'annule et change de signe pour 
x+1 = √2     x = √2 -1    o ù  f atteint son minimum 
la valeur de  f( √2 -1  )  est le minimum  
soit     (√2 -1)² + (√2 -2)² / 2       =2 -2√2  + 1  + ( 2-4√2 +4)/2 = 
3 -2√2  + 3-2√2  =  6 - 4√2
5)aire  minimale  S = pi( 6 - 4√2) 
y = (1-x)/(1+x) = (2- √2)/ √2  =  2/√2    -1  = √2    -1  =  x 
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