1) f'(x)= 1/2 ( 1 - 7/x² )= 1/2 * ( x² -7) /x² qui est négatif sur ] 0; √7 [ et positif sur ] 1 ; +∞ [ donc a un minimum qui vaut f( √7)=
1/2 ( √ 7+ 7/√7) = √7 pour x= √7
comme un = f( un-1) et que f( un-1) ≥ f( √7 ) on peut en déduire que
un ≥√7
2)un+1 - un = 1/2 * un + 7/2 * 1 /un - un = 7/2 *1/ un - 1/2 *un
= 1/2 *( 7/ un - un ) = 1/2 * ( 7 - un² ) / un
comme un ≥√7 alors un² ≥ 7 donc 1/2 * ( 7 - un² ) / un ≤0
un+1 - un ≤ 0
comme un+1 - un ≤ 0 alors la suite est décroissante
comme elle est décroissante et minorée ( par √7) alors elle est convergente
L = 1/2 (L + 7/L ) donc 1/2L = 1/2 * 7/L
puis L² = 7 et L = √7
3) un+1 - √7 = 1/2 ( un +7/un ) - √7
= 1/2 ( un +7/un ) - 1/2( √7 + 7/ √7)
= 1/2 [ un - √7 + 7( 1/ un -1/ √7 )]
= 1/2 [ (un - √7) + 7( √7 - un) / un * √7 ]
= 1/2 ( un - √7) [ 1 - 7 / un * √7 ]
= 1/2 ( un - √7)( un / un - √7/un )
= 1/2 * 1/ un * ( un - √7)²
