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Sagot :
Bonjour
Melizoou
On considère la fonction g définie sur R par g(x) = 2X^3 + 3X^2 - 72X - 6
1)a) Détermine la fonction dérivée g' de la fonction g.
[tex]g(x)=2x^3+3x^2-72x-6\\\\g'(x)=(2x^3)'+(3x^2)'-(72x)'-6'\\\\g'(x)=6x^2+6x-72-0\\\\\boxed{g'(x)=6x^2+6x-72}[/tex]
b) En étudiant le signe de la fonction dérivée, dresse le tableau de variation de la fonction g.
[tex]6x^2+6x-72=0\\\\\Delta=6^2-4\times6\times(-72)=36+1728=1764\ \textgreater \ 0\\\\x_1=\dfrac{-6-\sqrt{1764}}{2\times6}=\dfrac{-6-42}{12}=\dfrac{-48}{12}=-4\\\\x_2=\dfrac{-6+\sqrt{1764}}{2\times6}=\dfrac{-6+42}{12}=\dfrac{36}{12}=3\\\\\\\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&-4&&3&&+\infty\\g'(x)&&+&0&-&0&+&\\g(x)&&\nearrow&202&\searrow&-141&\nearrow&\\ \end{array}[/tex]
2) Détermine l'équation de la tangente à la courbe représentant g au point d'abscisse 0.
Cette équation est de la forme : y = g'(0) (x - 0) + g(0),
soit y = g'(0) x + g(0)
Or g'(0) = 6*0² - 6*0 - 72 = -72
g(0) = 2*0^3 + 3*0^2 - 72*0 - 6 = -6
Donc, l'équation de la tangente à la courbe représentant g au point d'abscisse 0 est : y = -72x - 6.
3) Détermine les antécédents de -6 par la fonction g.
Il faut trouver x tel que g(x) = -6, soit résoudre l'équation [tex]2x^3+3x^2-72x-6=-6[/tex]
[tex]2x^3+3x^2-72x-6+6=0\\2x^3+3x^2-72x=0\\x(2x^2+3x-72)=0\\\boxed{x=0}\ \ ou\ \ 2x^2+3x-72=0[/tex]
Résolvons l'équation 2x² + 3x - 72 = 0
[tex]\Delta=3^2-4\times2\times(-72)=9+576=585\ \textgreater \ 0\\\\x_1=\dfrac{-3-\sqrt{585}}{2\times2}=\boxed{\dfrac{-3-\sqrt{585}}{4}}\approx-6,8\\\\x_2=\dfrac{-3+\sqrt{585}}{2\times2}=\boxed{\dfrac{-3+\sqrt{585}}{4}}\approx5,3[/tex]
Par conséquent, les antécédents de -6 par la fonction g sont [tex]\boxed{0\ et\ \dfrac{-3-\sqrt{585}}{4}\ et\ \dfrac{-3+\sqrt{585}}{4}}[/tex]
On considère la fonction g définie sur R par g(x) = 2X^3 + 3X^2 - 72X - 6
1)a) Détermine la fonction dérivée g' de la fonction g.
[tex]g(x)=2x^3+3x^2-72x-6\\\\g'(x)=(2x^3)'+(3x^2)'-(72x)'-6'\\\\g'(x)=6x^2+6x-72-0\\\\\boxed{g'(x)=6x^2+6x-72}[/tex]
b) En étudiant le signe de la fonction dérivée, dresse le tableau de variation de la fonction g.
[tex]6x^2+6x-72=0\\\\\Delta=6^2-4\times6\times(-72)=36+1728=1764\ \textgreater \ 0\\\\x_1=\dfrac{-6-\sqrt{1764}}{2\times6}=\dfrac{-6-42}{12}=\dfrac{-48}{12}=-4\\\\x_2=\dfrac{-6+\sqrt{1764}}{2\times6}=\dfrac{-6+42}{12}=\dfrac{36}{12}=3\\\\\\\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&-4&&3&&+\infty\\g'(x)&&+&0&-&0&+&\\g(x)&&\nearrow&202&\searrow&-141&\nearrow&\\ \end{array}[/tex]
2) Détermine l'équation de la tangente à la courbe représentant g au point d'abscisse 0.
Cette équation est de la forme : y = g'(0) (x - 0) + g(0),
soit y = g'(0) x + g(0)
Or g'(0) = 6*0² - 6*0 - 72 = -72
g(0) = 2*0^3 + 3*0^2 - 72*0 - 6 = -6
Donc, l'équation de la tangente à la courbe représentant g au point d'abscisse 0 est : y = -72x - 6.
3) Détermine les antécédents de -6 par la fonction g.
Il faut trouver x tel que g(x) = -6, soit résoudre l'équation [tex]2x^3+3x^2-72x-6=-6[/tex]
[tex]2x^3+3x^2-72x-6+6=0\\2x^3+3x^2-72x=0\\x(2x^2+3x-72)=0\\\boxed{x=0}\ \ ou\ \ 2x^2+3x-72=0[/tex]
Résolvons l'équation 2x² + 3x - 72 = 0
[tex]\Delta=3^2-4\times2\times(-72)=9+576=585\ \textgreater \ 0\\\\x_1=\dfrac{-3-\sqrt{585}}{2\times2}=\boxed{\dfrac{-3-\sqrt{585}}{4}}\approx-6,8\\\\x_2=\dfrac{-3+\sqrt{585}}{2\times2}=\boxed{\dfrac{-3+\sqrt{585}}{4}}\approx5,3[/tex]
Par conséquent, les antécédents de -6 par la fonction g sont [tex]\boxed{0\ et\ \dfrac{-3-\sqrt{585}}{4}\ et\ \dfrac{-3+\sqrt{585}}{4}}[/tex]
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