Bonjour
Koumbaa
[tex]2)\ u_n=p_n-0,4\\\\a)\ u_{n+1}=p_{n+1}-0,4\\u_{n+1}=0,9p_n+0,04-0,4\\u_{n+1}=0,9p_n-0,36\\u_{n+1}=0,9p_n-0,9\times0,4\\u_{n+1}=0,9(p_n-0,4)\\\\\boxed{u_{n+1}=0,9u_n}[/tex]
Par conséquent, la suite (Un) est une suite géométrique de raison 0,9 et dont le premier terme est [tex]u_0=p_0-0,4=0,55-0,4=\boxed{0,15}[/tex]
[tex]b)\ u_n=u_0\times q^n\Longrightarrow\boxed{u_n=0,15\times0,9^n}\\\\u_n=p_n-0,4\Longrightarrow p_n=u_n+0,4\Longrightarrow\boxed{p_n=0,15\times0,9^n+0,4}[/tex]
c) Puisque 0 < 0,9 < 1, nous déduisons que
[tex]\lim\limits_{n\to+\infty}0,9^n=0\\\\\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}(0,15\times0,9^n)=0\\\\\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}(0,15\times0,9^n+0,4)=0,4\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}p_n=0,4}[/tex]
Interprétation :
Puisque 0,4 = 40 %, nous pouvons dire que si le nombre de mois augmente, alors le pourcentage de personnes ayant
une opinion favorable à l'action menée par le président tend à se rapprocher de 40%.
[tex]3)a)\ 0,15\times0,9^n+0,4\le0,45\\0,15\times0,9^n\le0,45-0,4\\0,15\times0,9^n\le0,05\\\\0,9^n\le\dfrac{0,05}{0,15}\\\\0,9^n\le\dfrac{1}{3}\\\\\ln(0,9^n)\le\ln(\dfrac{1}{3})\\\\n\times\ln(0,9)\le-\ln(3)\\\\n\ge\dfrac{-\ln(3)}{\ln(0,9)}\ \ \ (car\ \ \ln(0,9)\ \textless \ 0)\\\\\\Or\ \ \dfrac{-\ln(3)}{\ln(0,9)}\approx10,43[/tex]
Donc, l'entier le plus proche de 10,43 et supérieur à 10,43 est 11.
Par conséquent,
le plus petit entier n tel que [tex]0,15\times0,9^n+0,4\le0,45[/tex] est 11.
b) Interprétation.
A partir du 11ème mois, le pourcentage de personnes
ayant une opinion favorable à l'action menée par le président est inférieur à 45%.
