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CarotteBleue
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Bonsoir à tous ! J'ai besoin d'une grande aide (si possible rapide) sur ce problème qui est la cause d'arrachage de cheveux :

Démontrer que pour tout entier naturel n, 2x7^(2n+1) + 3^(n+2) est divisible par 23


Merci


Sagot :

Laurance
par récurrence
n=0   2x7^(0+1) + 3^(0+2 )=   14+9= 23 
divisible par 23
si 2x7^(2n+1) + 3^(n+2) est divisible par 23  alors
2x7^(2n+1) + 3^(n+2) =23k
or  en remplaçant n par n +1 
2x7^(2n+2+1) + 3^(n+1+2)  = 2*7²*7^(2n+1)  + 3^(n+2)
comme
2x7^(2n+1) + 3^(n+2) =23k  alors    
2x7^(2n+1) = - 3^(n+2) +23k  et 

2*7²*7^(2n+1)  + 3^(n+2) = 7²( - 3^(n+2) +23k)  + 3^(n+2) )
=   - 49  * 3 ^(n+2)  +  7*23k  + 3^(n+2) 
= - 46  * 3^(n+2)  +  7*23k
qui est divisible par  23 
conclusion 
2x7^(2n+1) + 3^(n+2) est divisible par 23  pour tout n 
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