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Svp quelqun pourrait m'aider a demontrer que :

|X+Y|<=|X|+|Y|

et merci bcp d'avance.

Sagot :

Bonjour  Betty0

|x + y|² = (x + y)²
           = x² + 2xy + y²
           ≤ x² + 2|xy| + y²    car  xy ≤ |xy|
           ≤ |x|² + 2|x||y| + |y|²  car x² = |x|²  et   |xy| = |x||y|  et  y² = |y|²
           ≤ (|x| + |y|)²

Donc 
|x + y|² ≤ (|x| + |y|)²

Or la fonction "racine carrée" est croissante sur [0;+oo[.

D'où 

[tex]\sqrt{|x + y|^2}\le\sqrt{(|x| + |y|)^2}\\\\\Longrightarrow\boxed{|x + y|\le|x| + |y|}[/tex]
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