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Sagot :
Bonjour Catherine1234
1- Soit le point M(0 ; a) où a est un nombre réel.
Déterminer a pour que le triangle ABM soit rectangle en B.
Que remarque-t-on pour les points B, M et C justifier.
ABM est un triangle rectangle en B.
Par Pythagore dans ce triangle ABM, nous avons :
[tex]AM^2=AB^2+BM^2\\\\************\\\\(x_M-x_A)^2+(y_M-y_A)^2=\\(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(x_M-x_B)^2+(y_M-y_B)^2\\\\************\\\\(0+4)^2+(a+\dfrac{3}{2})^2=\\(-2+4)^2+(\dfrac{5}{2}+\dfrac{3}{2})^2+(0+2)^2+(a-\dfrac{5}{2})^2\\\\************\\\\4^2+a^2+3a+\dfrac{9}{4}=2^2+4^2+2^2+a^2-5a+\dfrac{25}{4}\\\\16+a^2+3a+\dfrac{9}{4}=4+16+4+a^2-5a+\dfrac{25}{4}\\\\8a=12\\\\a=\dfrac{12}{8}\\\\\boxed{a=\dfrac{3}{2}}[/tex]
Les points B, M et C sont alignés.
En effet,
[tex]\overrightarrow{BM}:(x_M-x_B;y_M-y_B)=(0+2;\dfrac{3}{2}-\dfrac{5}{2})=(2;-1)\\\\\overrightarrow{BC}:(x_C-x_B;y_C-y_B)=(2+2;\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{2})=(4;-2)\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BM}}[/tex]
D'où, les vecteurs [tex]\overrightarrow{BM}[/tex] et [tex]\overrightarrow{BC}[/tex] sont colinéaires.
Par conséquent, les points B, M et C sont alignés.
2- Déterminer les coordonnées du point N tel que le quadrilatère ABNC soit un parallélogramme.
Le quadrilatère ABNC soit un parallélogramme si [tex]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CN}[/tex]
[tex]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CN}\\\\(x_B-x_A;y_B-y_A)=(x_N-x_C;y_N-y_C)\\\\(-2+4;\dfrac{5}{2}+\dfrac{3}{2})=(x_N-2;y_N-\dfrac{1}{2})\\\\(2;4)=(x_N-2;y_N-\dfrac{1}{2})\\\\\left\{\begin{matrix}x_N-2=2\\y_N-\dfrac{1}{2}=4\end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x_N=2+2\\y_N=4+\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\ \ \ \ \boxed{\left\{\begin{matrix}x_N=4\\y_N=\dfrac{9}{2}\end{matrix}\right.}[/tex]
Par conséquent, N a pour coordonnées (4 ; 9/2).
3- Déterminer les coordonnées du point K, symétrique du point A par rapport au point B
Si K est le symétrique du point A par rapport au point B, alors B est le milieu du segment [AK]
D'où
[tex](x_B;y_B)=(\dfrac{x_A+x_K}{2};\dfrac{y_A+y_K}{2})\\\\(-2;\dfrac{5}{2})=(\dfrac{-4+x_K}{2};\dfrac{-\dfrac{3}{2}+y_K}{2})\\\\\\\left\{\begin{matrix}\dfrac{-4+x_K}{2}=-2\\\dfrac{-\dfrac{3}{2}+y_K}{2}=\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}-4+x_K=-4\\-\dfrac{3}{2}+y_K=5\end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x_K=-4+4\\y_K=5+\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\\\\\\\boxed{\left\{\begin{matrix}x_K=0\\y_K=\dfrac{13}{2}\end{matrix}\right.}[/tex]
Par conséquent, K a pour coordonnées (0 ; 13/2).
4- Montrer que le triangle BKN est rectangle et isocèle.
[tex]BK^2=(x_K-x_B)^2+(y_K-y_B)^2=(0+2)^2+(\dfrac{13}{2}-\dfrac{5}{2})^2\\\\=2^2+4^2=4+16=20\Longrightarrow\boxed{BK^2=20}\ \ et\ \ \boxed{BK=\sqrt{20}}\\\\\\NK^2=(x_K-x_N)^2+(y_K-y_N)^2=(0-4)^2+(\dfrac{13}{2}-\dfrac{9}{2})^2\\\\=4^2+2^2=16+4=20\Longrightarrow\boxed{NK^2=20}\ \ et\ \ \boxed{NK=\sqrt{20}}\\\\\\NB^2=(x_B-x_N)^2+(y_B-y_N)^2=(-2-4)^2+(\dfrac{5}{2}-\dfrac{9}{2})^2\\\\=(-6)^2+(-2)^2=36+4=40\Longrightarrow\boxed{NB^2=40}[/tex]
Nous en déduisons que
[tex]BK^2+NK^2=20+20\\\\BK^2+NK^2=40\\\\\boxed{BK^2+NK^2=NB^2}[/tex]
Par la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle BKN est rectangle et [BN] est l'hypoténuse.
Par conséquent, le triangle BKN est rectangle en K.
De plus
[tex]BK=\sqrt{20}\ \ et\ \ NK=\sqrt{20}\Longrightarrow \boxed{BK=NK}[/tex]
Par conséquent, le triangle BKN est isocèle en K.
1- Soit le point M(0 ; a) où a est un nombre réel.
Déterminer a pour que le triangle ABM soit rectangle en B.
Que remarque-t-on pour les points B, M et C justifier.
ABM est un triangle rectangle en B.
Par Pythagore dans ce triangle ABM, nous avons :
[tex]AM^2=AB^2+BM^2\\\\************\\\\(x_M-x_A)^2+(y_M-y_A)^2=\\(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(x_M-x_B)^2+(y_M-y_B)^2\\\\************\\\\(0+4)^2+(a+\dfrac{3}{2})^2=\\(-2+4)^2+(\dfrac{5}{2}+\dfrac{3}{2})^2+(0+2)^2+(a-\dfrac{5}{2})^2\\\\************\\\\4^2+a^2+3a+\dfrac{9}{4}=2^2+4^2+2^2+a^2-5a+\dfrac{25}{4}\\\\16+a^2+3a+\dfrac{9}{4}=4+16+4+a^2-5a+\dfrac{25}{4}\\\\8a=12\\\\a=\dfrac{12}{8}\\\\\boxed{a=\dfrac{3}{2}}[/tex]
Les points B, M et C sont alignés.
En effet,
[tex]\overrightarrow{BM}:(x_M-x_B;y_M-y_B)=(0+2;\dfrac{3}{2}-\dfrac{5}{2})=(2;-1)\\\\\overrightarrow{BC}:(x_C-x_B;y_C-y_B)=(2+2;\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{2})=(4;-2)\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BM}}[/tex]
D'où, les vecteurs [tex]\overrightarrow{BM}[/tex] et [tex]\overrightarrow{BC}[/tex] sont colinéaires.
Par conséquent, les points B, M et C sont alignés.
2- Déterminer les coordonnées du point N tel que le quadrilatère ABNC soit un parallélogramme.
Le quadrilatère ABNC soit un parallélogramme si [tex]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CN}[/tex]
[tex]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CN}\\\\(x_B-x_A;y_B-y_A)=(x_N-x_C;y_N-y_C)\\\\(-2+4;\dfrac{5}{2}+\dfrac{3}{2})=(x_N-2;y_N-\dfrac{1}{2})\\\\(2;4)=(x_N-2;y_N-\dfrac{1}{2})\\\\\left\{\begin{matrix}x_N-2=2\\y_N-\dfrac{1}{2}=4\end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x_N=2+2\\y_N=4+\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\ \ \ \ \boxed{\left\{\begin{matrix}x_N=4\\y_N=\dfrac{9}{2}\end{matrix}\right.}[/tex]
Par conséquent, N a pour coordonnées (4 ; 9/2).
3- Déterminer les coordonnées du point K, symétrique du point A par rapport au point B
Si K est le symétrique du point A par rapport au point B, alors B est le milieu du segment [AK]
D'où
[tex](x_B;y_B)=(\dfrac{x_A+x_K}{2};\dfrac{y_A+y_K}{2})\\\\(-2;\dfrac{5}{2})=(\dfrac{-4+x_K}{2};\dfrac{-\dfrac{3}{2}+y_K}{2})\\\\\\\left\{\begin{matrix}\dfrac{-4+x_K}{2}=-2\\\dfrac{-\dfrac{3}{2}+y_K}{2}=\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}-4+x_K=-4\\-\dfrac{3}{2}+y_K=5\end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x_K=-4+4\\y_K=5+\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\\\\\\\boxed{\left\{\begin{matrix}x_K=0\\y_K=\dfrac{13}{2}\end{matrix}\right.}[/tex]
Par conséquent, K a pour coordonnées (0 ; 13/2).
4- Montrer que le triangle BKN est rectangle et isocèle.
[tex]BK^2=(x_K-x_B)^2+(y_K-y_B)^2=(0+2)^2+(\dfrac{13}{2}-\dfrac{5}{2})^2\\\\=2^2+4^2=4+16=20\Longrightarrow\boxed{BK^2=20}\ \ et\ \ \boxed{BK=\sqrt{20}}\\\\\\NK^2=(x_K-x_N)^2+(y_K-y_N)^2=(0-4)^2+(\dfrac{13}{2}-\dfrac{9}{2})^2\\\\=4^2+2^2=16+4=20\Longrightarrow\boxed{NK^2=20}\ \ et\ \ \boxed{NK=\sqrt{20}}\\\\\\NB^2=(x_B-x_N)^2+(y_B-y_N)^2=(-2-4)^2+(\dfrac{5}{2}-\dfrac{9}{2})^2\\\\=(-6)^2+(-2)^2=36+4=40\Longrightarrow\boxed{NB^2=40}[/tex]
Nous en déduisons que
[tex]BK^2+NK^2=20+20\\\\BK^2+NK^2=40\\\\\boxed{BK^2+NK^2=NB^2}[/tex]
Par la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle BKN est rectangle et [BN] est l'hypoténuse.
Par conséquent, le triangle BKN est rectangle en K.
De plus
[tex]BK=\sqrt{20}\ \ et\ \ NK=\sqrt{20}\Longrightarrow \boxed{BK=NK}[/tex]
Par conséquent, le triangle BKN est isocèle en K.
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