Bonjour
Chloé331
Exercice 1
1) Le tableau de variations de g nous indique que g(x) ≥ 0 sur l'intervalle [-2 ; 0] car le minimum de la fonction g sur cet intervalle est 0.
D'où l'équation g(x) = -1 n'admet pas de solution dans l'intervalle [-2 ; 0]
De plus, g(0) = 2 > 0 et g(5) = -3 < 0.
Par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation g(x) = -1 possède une et une seule solution [tex]\alpha[/tex] sur l’intervalle [0 ; 5] car -1 est entre -3 et 2.
Par conséquent, l’équation g(x) = -1 possède une et une seule solution [tex]\alpha[/tex] sur l’intervalle [-2 ; 5].
Or [tex]\alpha\in[0;5]\Longrightarrow\alpha\ge0[/tex]
De plus [tex]\alpha\neq0[/tex] car g(0) = 2 ≠ -1.
Par conséquent, [tex]\boxed{\alpha\ \textgreater \ 0}[/tex].
2) Convexité de la fonction f.
Nous savons que g(x) = f '(x).
Tableau de signes de la dérivée f ''(x) et concavité de f.
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-2&&-1&&0&&5\\f'(x)&2&\searrow&0&\nearrow&2&\searrow&-3\\&&&&&&&\\f''(x)&&-&&+&&-&\\&&&&&&&\\f&&concavit\acute{e}&f(-1)&concavit\acute{e}&f(0)&concavit\acute{e}&\\&&n\acute{e}gative&&positive&&n\acute{e}gative&\\ \end{array}[/tex]
D'où,
sur l'intervalle [-2 ; -1], la fonction f est concave (concavité négative)
sur l'intervalle [-1 ; 0], la fonction f est convexe (concavité positive)
sur l'intervalle [0 ; 5], la fonction f est concave (concavité négative)
Par conséquent, il y a deux points d'inflexion de coordonnées (-1;f(-1)) et (0;f(0))
Exercice 2
Partie A : Répondre sans justifier.
1. C.
2. A.
3. B.
4. C.
5. C.
6. C.
Partie B : Convexité
1) Sur l'intervalle ]-oo ; 1], la fonction est concave (concavité négative).
Sur l(intervalle [1 ; +oo[, la fonction est convexe (concavité positive).
Par conséquent,
nous pouvons conjecturer que la courbe Cf ne possède qu'un seul point d'inflexion A(1 ; 2).
[tex]2)\ f(x)=x^3-3x^2+4\\\\f'(x)=3x^2-6x\\\\f''(x)=6x-6\\\\Racine\ de\ f'':6x-6=0\Longrightarrow x=1\\\\\\\begin{array}{|c|ccccc|} x&-\infty&&1&&+\infty\\f''(x)=6x-6&&-&0&+&\\&&&&&\\f(x)&&concavit\acute{e}&2&concavit\acute{e}&\\&&n\acute{e}gative&&positive&\\ \end{array}[/tex]
Ce tableau confirme la conjecture émise dans la question 1
