Bonjour
Yacine931
Exercice 7
[tex]f(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{x-3}[/tex]
a) Ensemble de définition de f.
Conditions :
x ≠ 0
x - 1 ≠ 0 ==> x ≠ 1
x - 2 ≠ 0 ==> x ≠ 2
D'où l'ensemble de définition de f est R \ {0 ; 1 ; 2}.
b) Dérivée f '(x)
[tex]f'(x)=(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{x-3})'\\\\f'(x)=(\dfrac{1}{x})'+(\dfrac{1}{x-2})'+(\dfrac{1}{x-3})'\\\\\boxed{f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{(x-2)^2}-\dfrac{1}{(x-3)^2}}[/tex]
c) Signe de f '(x) et tableau de variations de f
[tex]\left\{\begin{matrix}-\dfrac{1}{x^2}\ \textless \ 0\\\\-\dfrac{1}{(x-2)^2}\ \textless \ 0\\\\-\dfrac{1}{(x-3)^2}\end{matrix}\right.\\\\\\\Longrightarrow-\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{(x-2)^2}-\dfrac{1}{(x-3)^2}\ \textless \ 0\\\\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)\ \textless \ 0}\\\\\underline{Tableau\ de\ variations\ de\ f}\ :\\\\\\\begin{array}{|c|ccccccccc|}x&-\infty&&0&&1&&2&&+\infty\\f'(x)&&-&||&-&||&-&||&-& \\f(x)&&\searrow&||&\searrow&||&\searrow&||&\searrow& \\\end{array}[/tex]
Exercice 8
[tex]f(x)=\dfrac{x^2-3x+1}{x^2+1}[/tex]
Ensemble de définition de f :
Puisque x² + 1 > 0 pour toutes les valeurs réelles de x, l'ensemble de définition de f est R.
Ensemble de dérivabilité de f :
Puisque f est le quotient de deux fonctions polynômes dérivables sur R, l'ensemble de dérivabilité de f est égal à l'ensemble de définition de f.
Par conséquent, l'ensemble de dérivabilité de f est R.
Dérivée f '(x)
[tex]f'(x)=(\dfrac{x^2-3x+1}{x^2+1})'\\\\f'(x)=\dfrac{(x^2-3x+1)'(x^2+1)-(x^2-3x+1)(x^2+1)'}{(x^2+1)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{(2x-3)(x^2+1)-(x^2-3x+1)\times2x}{(x^2+1)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{2x^3+2x-3x^2-3-2x^3+6x^2-2x}{(x^2+1)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{3x^2-3}{(x^2+1)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{3(x^2-1)}{(x^2+1)^2}[/tex]
Puisque 3>0 et (x² + 1)²>0, le ligne de f'(x) est le même que le signe de x² - 1.
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|}x&-\infty&&-1&&1&&+\infty\\x^2-1&&+&0&-&0&+& \\f'(x)&&+&0&-&0&+&\\f(x)&&\nearrow&\frac{5}{2}&\searrow&-\frac{1}{2}\nearrow&\\\end{array}[/tex]
Par conséquent,
La fonction f est croissante sur ]-oo ; -1] U [1 ; +oo[
La fonction f est décroissante sur [-1 ; 1]
La fonction f admet un maximum égal à 5/2 pour x = -1
La fonction f admet un minimum égal à -1/2 pour x = 1
