👤
Answered

Trouvez des solutions à vos problèmes avec FRstudy.me. Notre communauté est prête à fournir des réponses détaillées et fiables, que vos questions soient simples ou complexes.

Svp ç très très urgent !! Merci d avance
) à) vérifier que les nombres premiers 3,5,7,11,13,17 et 19 s'écrivent sous la forme 4n+1 ou 4n+3,où n désigne un nombre entier.
b)En utilisant la division euclidienne par 4,expliquer pourquoi un nombre entier est de l'une des formes 4n ou 4n+1 ou 4n+2 ou 4n+3.
c)Expliquer pourquoi un nombre premier supérieur ou égal à 3 et de l'une des formes 4n+1 ou 4n+3.
d)Existe-t-il des nombres de la forme 4n+1 ou 4n+3 qui ne sont pas premiers?
2) Expliquer de même pourquoi un nombre premier supérieur ou égal à 5 est de l'une des forme 6n+1 ou 6n+5.
Je n est rien compris qui peut m aider svp ç est urgent !
Merci

Sagot :

Scoladan
Bonjour,

a) 3 = 4x0 + 3
5 = 4x1 + 1
...

19 = 4x4 + 3

b) Le reste de la division d'un nombre entier par 4 est 0 ou 1 ou 2 ou 3.

Donc, tout entier N peut s'écrire 4n ou 4n+1 ou 4n+2 ou 4n+3

c) Si N premier et >= 3, il ne peut pas s'écrire 4n, car il serait divisible par 4, ni 4n+2, car il serait divisible par 2 (4n+2=2(2n+1)).

==> N = 4n+1 ou N=4n+3

NB : La condition > ou = à 3 exclut uniquement N=1.

d) oui

4x2+1 = 9 = 3x3
4x5+1 = 21 = 3x7

2) Les restes de la division euclidienne d'un entier par 6 sont 0 ou 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5.

==> Tout entier peut s'écrire 6n, 6n+1, 6n+2, 6n+3, 6n+4, ou 6n+5

Un nombre premier > ou = à 5 ne peut pas s'écrire 6n, 6n+2=2(3n+1), 6n+3=3(2n+1) ni 6n+4=2(3n+2).

Donc il peut s'écrire 6n+1 ou 6n+5
Bonsoir,

1.a)
3=0*4+3
5=1*4+1
7=1*4+3
11=2*4+3
13=3*4+1
17=4*4+1
19=4*4+3
Les nombres sont donc  multiple de 4 +1 ou multiple de 4 +3.

1.b)

Soit n un nombre naturel .
La division euclidienne  de n par 4 est définie par:
il existe un quotient q et un reste inférieur au diviseur:
n=q*4+r avec r=0,1,2,3.

1.c)
 Tout nombre premier p>3 étant un naturel est donc de la forme
4N+0=4N
ou 4N+1
ou 4N+2
ou 4N+3

si p est un multiple de 4 (r=0) ses diviseurs sont 1,2,4,...,p
Il y a donc plus de 2diviseurs : p n'est pas premier.

si p est un multiple de 4 +2 :
p=q*4+2=2(2q+1)
ses diviseurs sont 1,2,2q+1 au moins
==> au moins 3 diviseurs: p n'est pas premier

p est donc de la forme 4N+1 ou 4N+3.

d) OUI par ex 9=2*4+1 n'est pas premier.

2)
si p est un nombre naturel >5 , il sera de la forme
6N+0=6N
ou 6N+1
ou 6N+2
ou 6N+3
ou 6N+4
ou 6N+5

Pour un reste pair (0,2,4) p=4*q+2*k  avec k=0,1,2
p=2(2q+k) dont les diviseurs sont 1,2,2q+k au moins
p  n'est pas premier

Si p est de la forme 6N+3
alors
p=6*n+3=3(2n+1) dont les diviseurs sont au moins 1,3,2n+1:
p n'est pas premier.

Tout nombre premier est de la forme 6N+1 ou 6N+5
Il existe des naturels de la forme 6N+1 (6N+5) qui ne sont pas premiers:
ex 25=4*6+1 n'est pas premier.

Votre participation est très importante pour nous. Continuez à partager des informations et des solutions. Cette communauté se développe grâce aux contributions incroyables de membres comme vous. FRstudy.me est votre ressource de confiance pour des réponses précises. Merci de votre visite et revenez bientôt.