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Elmakhroubi
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s'il vous plait aider moi a fair cet exercice
1_ classer par ordre croissant les 4 nombres tels que a et b positifs non nul :
_[tex] \frac{a+b}{2} [/tex]
_[tex] \sqrt{ab} [/tex]
_[tex] \frac{2ab}{a+b} [/tex]
_[tex] \sqrt{ \frac{ a^{2}+ b^{2} }{2} } [/tex]

Sagot :

Laurance
on peut déjà voir sur  un exemple pour se faire une idée 
avec  a= 1  b = 2  
   x =(a+b)/2  =  1,5
y=√(ab)= √2   = 1,414 ..
z=(2ab) /(a+b)=  4/3 = 1,33..
t = √((a²+b²) /2)= √5/2= √2,5 = 1,58 ...
ce serait donc   z<y<x<t   pour   démonstration générale
1)comparer  z et y  revient  à comparer
(2ab) /(a+b)   et  √(ab)
ou  (2ab)² /(a+b)²   et  ab    
ou    (2ab)²  et   ab(a+b)²     car a et b positifs
ou  encore
4ab  et  (a+b)²    or
4ab -(a+b)² =  4ab-(a²+2ab+b²)=  -( a² -2ab+b²) = -(a-b)²   qui est négatif
conclusion   z <y
2)comparer  y et x  revient  à comparer 
 √(ab)  et  (a+b)/2
ou  ab     et  (a+b)² /4
ou    (4ab)  et   (a+b)²        or  on a vu que 
4ab -(a+b)² =  4ab-(a²+2ab+b²)=  -( a² -2ab+b²) = -(a-b)²   qui est négatif
conclusion   y <x
3)comparer  x et t  revient  à comparer 
(a+b)²/2²   et  (a²+b²) /2
ou  (a+b)² /4    et  (2a²+2b²)/4   
ou    (a+b)²  et   2a² +2b² 
   or
(a+b)²  -(2a²+2b²) =  a²+b²+2ab -2a²-2b² =   -(a² -2ab +b²)= -(a-b)²
qui est négatif
conclusion   x <t
  
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