Bonjour
Rosiemuller2000
Exercice 1
[tex]1)\ \boxed{u_0=0}\\u_1=2u_0-5\times0+6=2\times0-5\times0+6=6\Longrightarrow\boxed{u_1=6}\\u_2=2u_1-5\times1+6=2\times6-5+6=12+1=13\Longrightarrow\boxed{u_2=13}\\u_3=2u_2-5\times2+6=2\times13-10+6=26-4=22\Longrightarrow\boxed{u_3=22}[/tex]
[tex]2)a)\ v_0=u_0-5\times0+1=0-0+1=1\Longrightarrow\boxed{v_0=1}\\v_1=u_1-5\times1+1=6-5+1=2\Longrightarrow\boxed{v_1=2}\\v_2=u_2-5\times2+1=13-10+1=4\Longrightarrow\boxed{v_2=4}\\v_3=u_3-5\times3+1=22-15+1=8\Longrightarrow\boxed{v_3=8}[/tex]
b) Conjecture et expression de Un.
[tex]v_0=1=2^0\\v_1=2=2^1\\v_2=4=2^2\\v_3=8=2^3[/tex]
Nous pouvons conjecturer que [tex]\boxed{v_n=2^n}[/tex]
D'où
[tex]v_n=u_n-5n+1\Longrightarrow u_n=v_n+5n-1\\\\\Longrightarrow\boxed{u_n=2^n+5n-1}[/tex]
3) Algorithme.
1 VARIABLES
2 n EST_DU_TYPE NOMBRE
3 p EST_DU_TYPE NOMBRE
4 u EST_DU_TYPE NOMBRE
5 DEBUT_ALGORITHME
6 n PREND_LA_VALEUR 0
7 LIRE p
8 TANT_QUE (u<=pow(10,p)) FAIRE
9 DEBUT_TANT_QUE
10 n PREND_LA_VALEUR n+1
11 u PREND_LA_VALEUR pow(2,n)+5*n-1
12 FIN_TANT_QUE
13 AFFICHER n
14 FIN_ALGORITHME
Lançons l'algorithme avec p = 7.
Le premier entier n pour lequel Un > 10000000 est 24.
Exercice 2
[tex]1)\ u_1=1=\dfrac{3}{3}\Longrightarrow\boxed{u_1=\dfrac{3}{3}}\\\\u_2=\dfrac{3u_1}{6-u_1}=\dfrac{3\times1}{6-1}=\dfrac{3}{5}\Longrightarrow\boxed{u_2=\dfrac{3}{5}}\\\\u_3=\dfrac{3u_2}{6-u_2}=\dfrac{3\times\dfrac{3}{5}}{6-\dfrac{3}{5}}=\dfrac{\dfrac{9}{5}}{\dfrac{27}{5}}=\dfrac{9}{27}=\dfrac{3}{9}\Longrightarrow\boxed{u_3=\dfrac{3}{9}}[/tex]
[tex]\\\\u_4=\dfrac{3u_3}{6-u_3}=\dfrac{3\times\dfrac{1}{3}}{6-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\dfrac{3}{3}}{\dfrac{17}{3}}=\dfrac{3}{17}\Longrightarrow\boxed{u_4=\dfrac{3}{17}}\\\\u_4=\dfrac{3u_4}{6-u_4}=\dfrac{3\times\dfrac{3}{17}}{6-\dfrac{3}{17}}=\dfrac{\dfrac{9}{17}}{\dfrac{99}{17}}=\dfrac{9}{99}=\dfrac{3}{33}\Longrightarrow\boxed{u_5=\dfrac{3}{33}}[/tex]
[tex]2)\ d_1=3=2^1+1\\d_2=5=4+1=2^2+1\\d_3=9=8+1=2^3+1\\d_4=17=16+1=2^4+1\\d_5=33=32+1=2^5+1[/tex]
Nous pouvons conjecturer que [tex]d_n=2^n+1[/tex] et par conséquent, que [tex]\boxed{u_n=\dfrac{3}{2^n+1}}[/tex]
3) Preuve par récurrence.
Soit [tex]P_{(n)}[/tex] la proposition : [tex]u_n=\dfrac{3}{2^n+1}[/tex]
a) Initialisation :
Montrons que P(1) est vraie.
[tex]u_1=\dfrac{3}{2^1+1}=\dfrac{3}{3}=1[/tex]
Donc P(1) est vraie.
b) Hérédité.
Montrons que si P(n) est vraie pour un entier naturel n fixe, alors P(n+1) est vraie.
Supposons donc que [tex]u_n=\dfrac{3}{2^n+1}[/tex]
Montrons que [tex]u_{n+1}=\dfrac{3}{2^{n+1}+1}[/tex]
En effet :
[tex]u_{n+1}=\dfrac{3u_n}{6-u_n}\\\\u_{n+1}=\dfrac{3\times\dfrac{3}{2^n+1}}{6-\dfrac{3}{2^n+1}}\\\\\\u_{n+1}=\dfrac{\dfrac{9}{2^n+1}}{\dfrac{6(2^n+1)-3}{2^n+1}}\\\\\\u_{n+1}=\dfrac{9}{6(2^n+1)-3}\\\\\\u_{n+1}=\dfrac{9}{6\times2^n+6-3}\\\\u_{n+1}=\dfrac{9}{6\times2^n+3}\\\\u_{n+1}=\dfrac{9}{3(2\times2^n+1)}\\\\u_{n+1}=\dfrac{3}{2\times2^n+1}\\\\\boxed{u_{n+1}=\dfrac{3}{2^{n+1}+1}}[/tex]
L'hérédité est donc vraie.
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons démontré que pour tout entier naturel n non nul, [tex]\boxed{u_n=\dfrac{3}{2^n+1}}[/tex]
