👤
Answered

FRstudy.me vous aide à trouver des réponses précises à vos questions. Trouvez des réponses précises et fiables de la part de notre communauté d'experts dévoués.

Bonsoir, j’ai un dm à rendre la semaine prochaine mais je n’y arrive pas quelqu’un pourrait-il m’aider svp ? Merci beaucoup !
Sujet : « Droite d’Euler »
On considère un triangle ABC et A’, B’ et C’ les milieux respectifs des segments [BC], [AC] et [AB]. On note O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC, H son orthocentre et G son centre de gravité.

1. - Réaliser une figure à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique. (j’ai choisie ici Geogebra)
-Construire les vecteurs OH et OG.
-Conjecturer un lien entre ces vecteurs (on déplacera les points A,B et C pour confirmer la conjecture).
2. a. Soit M le point définie par vecteur OM= vecteurs OA + OB + OC. EN utilisant la relation de Chasles, démontrer que vecteur AM = deux vecteurs OA’. En déduire que M appartient à la hauteur du triangle ABC issue de A.
Démontrer alors que les points M et H sont confondus.
B. Soit N le point vérifiant la relation vectorielle :
Vecteur NA + vecteur NB + vecteur NC = vecteur 0
En utilisant la relation de Chasles, démontrer que vecteur AN= 2/3 de vecteur AA’. En déduire que N appartient à la médiane du triangle ABC issu de A.
Démontrer alors que les points N er G sont confondus.
c. En exploitant les deux relations précédentes et la relation de Chasles, justifier que :
Vecteur OA + vecteur OB + vecteur OC = 3 vecteur OG.
d. Démontrer alors la conjecture émise à la question 1.

Note : Si le triangle ABC n’est pas équilatéral, la droite (OH) est appelée la droite d’Euler du triangle ABC.
J’ai construit ma figure comme ceci : http://www.e-bahut.com/uploads/monthly_10_2011/post-57505-0-25385100-1318017241.jpg

Sagot :

Bernie76
Bonjour,

2) a)

AM=AO+OM

AM=AO+OA+OB+OC

AM=OB+OC

AM=(OA'+A'B)+(OA'+A'C) mais A'B+A'C=0 ( vect nul)

Donc AM=2OA'

(OA') est la  médiatrice de ABC relative à (BC)  . Donc (OA') ⊥ (BC)

Comme les vecteurs AM et OA' sont colinéaires : (OA') // (AM).

Donc (AM) ⊥ (BC) .

On montrerait de la même manière que (BM) ⊥ (AC)

donc (BM) aussi hauteur de ABC .

Donc H et M confondus.

b)

NB+NC=(NA'+A'B)+(NA'+A'C) mais A'B+A'C=0 ( vect nul)

NB+NC =2NA'

NA+NB+NC=0 implique donc :

NA+2NA'=0

NA+2(NA+AA')=0

3NA+2AA'=0

3AN=2AA'

AN=(2/3)AA'

qui prouve que N appartient à la médiane de ABC issue de A.

On montrerait de même que N appartient à la médiane de ABC issue de B.

Donc N et G confondus.

c)

GA+GB+GC=0  donne :

GO+OA+GO+OB+GO+OC=0 soit :

3GO+OA+OB+OC=0 soit :

3OG=OA+OB+OC

d)
Mais OA+OB+OC=OH

donc :

3OG=OH

qui prouve que les points O, G H sont alignés.
Nous valorisons votre présence ici. Continuez à partager vos connaissances et à aider les autres à trouver les réponses dont ils ont besoin. Cette communauté est l'endroit parfait pour apprendre ensemble. FRstudy.me s'engage à répondre à toutes vos questions. Merci et revenez souvent pour des réponses actualisées.