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Bonjour, J'ai un DM à faire (2nd) et j'ai un problème avec 2 questions qui concerne la demonstration, voici l'énoncé :
Soit la fonction f définie sur l'intervalle [-7/2;2] par f(x) = 7(x-1)(x+3)
5)b) Calculer f(-1), puis démontrer que pour tout x de [-7/2;2] , f(x) - f(-1) = 7(x+1)^2
c) Démontrer que, pour tout x de [-7/2;2], f(x) est supérieur ou égale à f(-1). Qu'a-t-on ainsi démontré
Voilà merci d'avance pour votre aide

Sagot :

Anylor
bonjour

f(x) = 7(x-1)(x+3)
il faut remplacer x par -1
f( -1) = 7  ((-1)-1)  ×  ((-1)+3)
=  7×-2 ×2
= -28


f(x) = 7(x-1)(x+3) = 7x²+14x-21

f(x) -f(-1) = 7x²+14x-21 - (-28)
=  7x²+14x +7
on met 7 en facteur
= 7( x²+2x +1)
identité remarquable (a+b)²
=7(x+1)²

c)
f(x) -f(-1) = 7(x+1)²

7(x+1)² est toujours supérieur ou égal à 0
car c'est un carré
donc 
on a démontré que  f(x) - (f(-1) ≥0
par conséquent
f(x) ≥ f(-1)   pour tout x ∈ R
donc c'est vrai pour tout x ∈ [-7/2 ; 2]

on a démontré que le minimum de la fonction est atteint pour x = -1
et vaut f( -1)  c'est à dire -28


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