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irrationalité de √2
Si √2 est un nombre rationnel, alors il s'écrit sous la forme dune fraction irréductible p sur q où p et q sont des entiers relatifs non nuls.
1) vérifier que p au carré est égale 2q au carré. en déduire que p au carré est pair.
2)a. Démontrer que si p est pair alors p au carre, et que si p est impair alors p au carré est impair.
b. En déduire que p est paire.
3) Puisque p est paire, on peut l'écrire sous la forme p est égale 2p'.
a. Démontrer alors que p au carré est égale 2p'au carré.
b. En déduire que p est pair.
4) Pourquoi les réponses aux questions 2 et 3 sont elles en contradiction avec l'hypothèse ? En déduire que √2 n'est pas rationnel.
Merci De Bien Vouloir M'aider Je Suis En Troisième

Sagot :

(l'opérateur ^ veut dire puissance)
1-
si √2 est rationnel, on a √2=p/q donc p=q√2 et p^2 = (q√2)*(q√2)
donc p^2 = (√2*√2)*(q*q) = 2(q^2)
donc p^2 est un multiple de 2 il est donc pair.
2a-
si p est pair on peut écrire p=2p'. Alors p^2 = (2p')*(2p') = 4[(p')^2].
4 étant un multiple de 2 p^2 est un multiple de 2 donc il est pair.
si p est impair on peut écrire : p=2p'+1. Alors p^2 = (2p'+1)*(2p'+1)
p^2 = 4[(p')^2] + 4(p') + 1 [identité remarquable (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2]
p^2 = 4p'(p'+1) + 1
4p'(p'+1) est un multiple de 4 donc un multiple de 2; il est donc pair et p^2 est égal à un nombre pair augmenté de 1 il est donc impair.
2b- si p était impair, p^2 serait impair (d'après la démonstration précédente). ce qui est faux puisque p^2=2(q)^2. donc p est pair.
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