Bonjour
Capucinne
[tex]1-\sqrt{\dfrac{x+1}{2x+1}}\ \textgreater \ \sqrt{\dfrac{4-x}{2x+1}}\\\\Conditions :\\\\\left\{\begin{matrix}\dfrac{x+1}{2x+1}\ge0\\\\\dfrac{4-x}{2x+1}\ge0 \end{matrix}\right.\\\\\\Signes\ de\ \dfrac{x+1}{2x+1}\\\\\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&-1&&-\frac{1}{2}&&+\infty\\\frac{x+1}{2x+1}&&+&0&-&||&+&\\\end{array}\\\\\Longrightarrow\dfrac{x+1}{2x+1}\ge0\Longleftrightarrow\boxed{x\in\ ]-\infty;-1]\cup]-\dfrac{1}{2};+\infty[}[/tex]
[tex]\\\\\\Signes\ de\ \dfrac{4-x}{2x+1}\\\\\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&-\frac{1}{2}&&4&&+\infty\\\frac{4-x}{2x+1}&&-&||&+&0&-&\\ \end{array}\\\\\Longrightarrow\dfrac{4-x}{2x+1}\ge0\Longleftrightarrow\boxed{x\in\ ]-\dfrac{1}{2};4]}[/tex]
D'où, les deux conditions seront réunies avec [tex]\boxed{x\in\ ]-\dfrac{1}{2};4]}[/tex]
Une autre condition est requise.
[tex]1-\sqrt{\dfrac{x+1}{2x+1}}\ \textgreater \ \sqrt{\dfrac{4-x}{2x+1}}\\\\\\\Longrightarrow1-\sqrt{\dfrac{x+1}{2x+1}}\ \textgreater \ 0\\\\\\\sqrt{\dfrac{x+1}{2x+1}}\ \textless \ 1\\\\\\\dfrac{x+1}{2x+1}\ \textless \ 1\\\\\\\dfrac{x+1}{2x+1}-1\ \textless \ 0\\\\\\\dfrac{x+1-2x-1}{2x+1}\ \textless \ 0\\\\\\\dfrac{-x}{2x+1}\ \textless \ 0\\\\or\ \ 2x+1\ \textgreater \ 0\\\\Donc\ -x\ \textless \ 0\\\\\boxed{x\ \textgreater \ 0}[/tex]
D'où, la condition globale est [tex]\boxed{x\in\ ]0;4]}[/tex]
Résolution de l'inéquation proprement dite :
[tex]1-\sqrt{\dfrac{x+1}{2x+1}}\ \textgreater \ \sqrt{\dfrac{4-x}{2x+1}}[/tex]
Puisque x ∈ ]0 ; 4], l'inéquation peut s'écrire :
[tex]1-\dfrac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{2x+1}}\ \textgreater \ \dfrac{\sqrt{4-x}}{\sqrt{2x+1}}\\\\\dfrac{\sqrt{2x+1}}{\sqrt{2x+1}}-\dfrac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{2x+1}}\ \textgreater \ \dfrac{\sqrt{4-x}}{\sqrt{2x+1}}\\\\\\\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+1}\ \textgreater \ \sqrt{4-x}\\\\\sqrt{4-x}+\sqrt{x+1}\ \textless \ \sqrt{2x+1}\\\\(4-x)+2\sqrt{(4-x)(x+1)}+(x+1)\ \textless \ 2x+1\\\\2\sqrt{(4-x)(x+1)}\ \textless \ 2x+1-4+x-x-1\\\\2\sqrt{(4-x)(x+1)}\ \textless \ 2x-4\\\\\sqrt{(4-x)(x+1)}\ \textless \ x-2[/tex]
[tex](4-x)(x+1)\ \textless \ (x-2)^2\\\\4x+4-x^2-x\ \textless \ x^2-4x+4\\\\2x^2-7x\ \textgreater \ 0\\\\x(2x-7)\ \textgreater \ 0\\\\\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&0&&\frac{7}{2}&&+\infty\\x(2x-7)&&+&0&-&0&+&\\ \end{array}\\\\\\Or\ x\in\ ]0;4]\\\\Donc\\\\\begin{array}{|c|ccc|} x&\frac{7}{2}&&4\\x(2x-7)&0&+&\\ \end{array}\\\\\Longrightarrow x(2x-7)\ \textgreater \ 0\Longleftrightarrow\boxed{x\in]\dfrac{7}{2};4]}[/tex]
Ces valeurs de x vérifient bien la condition globale.
Par conséquent,
l'ensemble des solution de l'inéquation est [tex]\boxed{S=]\dfrac{7}{2}\ ;\ 4]}\ \ soit\ \ \boxed{S=]3,5\ ;\ 4]}[/tex]
