Bonjour
Yannis27
Soit P(n) la propriété : [tex]1+\dfrac{1}{2^2}+ ... +\dfrac{1}{n^2}\ \textgreater \ \dfrac{3n}{2n+1}[/tex]
Initialisation:
Montrons que l'inégalité est vraie pour la plus petite valeur autorisée de n, soit pour n=2
[tex]1+\dfrac{1}{n^2}=1+\dfrac{1}{2^2}=1+\dfrac{1}{4}=\dfrac{4}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{4}=1,25\\\\\dfrac{3n}{2n+1}=\dfrac{3\times2}{2\times2+1}=\dfrac{6}{4+1}=\dfrac{6}{5}=1,2[/tex]
Puisque nous avons 1,25 > 1,2, la propriété est vraie pour n=2.
Hérédité.
Supposons que la propriété P(n) soit vraie pour une valeur fixée de n supérieure ou égale à 2.
Montrons que P(n+1) est également vraie.
Supposons donc que [tex]1+\dfrac{1}{2^2}+ ... +\dfrac{1}{n^2}\ \textgreater \ \dfrac{3n}{2n+1}[/tex]
Montrons que [tex]1+\dfrac{1}{2^2}+ ... +\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{(n+1)^2}\ \textgreater \ \dfrac{3(n+1)}{2(n+1)+1}[/tex]
soit que [tex]1+\dfrac{1}{2^2}+ ... +\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{(n+1)^2}\ \textgreater \ \dfrac{3n+3}{2n+3}[/tex]
En effet,
[tex]1+\dfrac{1}{2^2}+ ... +\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{(n+1)^2}\ \textgreater \ \dfrac{3n}{2n+1}+\dfrac{1}{(n+1)^2}[/tex]
Si nous pouvons démontrer que [tex]\dfrac{3n}{2n+1}+\dfrac{1}{(n+1)^2}\ \textgreater \ \dfrac{3n+3}{2n+3}[/tex],
alors nous aurons démontré que [tex]1+\dfrac{1}{2^2}+ ... +\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{(n+1)^2}\ \textgreater \ \dfrac{3n+3}{2n+3}[/tex]
et l'hérédité serait démontrée
Montrons donc que [tex]\dfrac{3n}{2n+1}+\dfrac{1}{(n+1)^2}\ \textgreater \ \dfrac{3n+3}{2n+3}[/tex]
soit que [tex]\dfrac{3n+3}{2n+3}-\dfrac{3n}{2n+1}\ \textless \ \dfrac{1}{(n+1)^2}[/tex]
soit que [tex]\dfrac{(3n+3)(2n+1)-3n(2n+3)}{(2n+3)(2n+1)}\ \textless \ \dfrac{1}{(n+1)^2}[/tex]
soit que [tex]\dfrac{6n^2+3n+6n+3-6n^2-9n}{4n^2+2n+6n+3}\ \textless \ \dfrac{1}{n^2+2n+1}[/tex]
soit que [tex]\dfrac{3}{4n^2+8n+3}\ \textless \ \dfrac{1}{n^2+2n+1}[/tex]
soit que [tex]\dfrac{3}{4n^2+8n+3}\ \textless \ \dfrac{3}{3(n^2+2n+1)}[/tex]
soit que [tex]\dfrac{3}{4n^2+8n+3}\ \textless \ \dfrac{3}{3n^2+6n+3}[/tex]
soit que [tex]\boxed{4n^2+8n+3\ \textgreater \ 3n^2+6n+3}[/tex]
Cette dernière inégalité est vraie car
[tex]\left\{\begin{matrix}4n^2\ \textgreater \ 3n^2\\8n\ \textgreater \ 6n \end{matrix}\right.\Longrightarrow4n^2+8n\ \textgreater \ 3n^2+6n\\\\\\\Longrightarrow\boxed{4n^2+8n+1\ \textgreater \ 3n^2+6n+1}[/tex]
D'où, l'hérédité est démontrée.
Par conséquent, l'initialisation et l'hérédité étant vraies, nous avons démontré que pour tout entier n ≥ 2, nous avons : [tex]1+\dfrac{1}{2^2}+ ... +\dfrac{1}{n^2}\ \textgreater \ \dfrac{3n}{2n+1}[/tex]
