Bonjour,
j'essaie et si je ne vois rien, je te dirai...
1) fk(x) = x + (1 - kx^2)/(1 + kx^2)
lim fk(x) qd x-->+infini
= lim x + kx^2(1/kx^2 -1)/kx^2(1/kx^2 + 1)
= lim x - kx^2/kx^2 (car 1/kx^2 tend vers 0)
= lim (x - 1)
= + infini
De même lim fk(x) qd x--> - infini = - infini
2) D' : y = x + 1
f'k(x) = 1 + (-2kx(1+kx^2) - 2kx(1-kx^2)/(1+kx^2)^2
= 1 - (2kx(1+kx^2 + 1-kx^2)/(1+kx^2)^2
= 1 - 4kx/(1+kx^2)^2
Tangente à Cf au point (0;1) : y = f'k(0)(x-0) + fk(0)
f'k(0) = 1 et fk(0) = 1
==> y = x + 1
On retrouve bien l'équation de (D). Donc (D) est la tangente à Cf au point (0;1)
3) On "voit..." que C passe par A(1;1/3)
fk(1) = 1 + (1-k)/(1+k) = 2/(1+k)
fk(1) = 1/3 ==> 2/(1+k) = 1/3
<=> 6 = 1+k
==> k = 5
Pour C', passant par B(1;5/3)
2(1+k) = 5/3
<=> 6 = 5(1+k)
==> k = 1/5
4)
x -1 + 2/(1+kx^2) = x + (-1-kx^2 + 2)/(1+kx^2)
= x + (1-kx^2)/((1+kx^2)
= fk(x)
idem pour l'autre forme.
Position de Ck par rapport à (D) : On recherche le signe de la différence des 2 équations de Ck et de (D)
fk(x) - (x-1)
= 2/(1+kx^2) ==> Toujours > 0 ==> Ck est au-dessus de (D)
De même, pour la position de Ck par rapport à (D') :
fk(x) - (x+1) = -2kx^2/(1+kx^2)
k étant positif, cette différence est toujours négative.
Donc Ck est au-dessous de (D')
