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Sagot :
Bonjour
Selimathlouthi6
1) Une équation de (BT) est de la forme y = ax + b.
Calcul du coefficient directeur a
[tex]a=\dfrac{y_T-y_B}{x_T-x_B}=\dfrac{0-8}{10-0}=-\dfrac{8}{10}=-\dfrac{4}{5}[/tex]
L'ordonnée à l'origine de la droite est 8 car la droite passe par le point B(0;8)
Par conséquent, une équation de (BT) est : [tex]\boxed{y=-\dfrac{4}{5}x+8}[/tex]
2) Une équation de (RE) est de la forme y = ax + b.
Calcul du coefficient directeur a
[tex]a=\dfrac{y_E-y_R}{x_E-x_R}=\dfrac{0-8}{6-12}=\dfrac{-8}{-6}=\dfrac{4}{3}[/tex]
Nous savons déjà que l'équation de (RE) est de la forme [tex]y=\dfrac{4}{3}x+b[/tex]
Calcul de b.
Le point E(6;0) appartient à la droite (RE).
Dans l'équation de (RE), remplaçons x par 6 et y par 0
[tex]0=\dfrac{4}{3}\times6+b\Longrightarrow0=\dfrac{24}{3}+b\Longrightarrow0=8+b\Longrightarrow b=-8[/tex]
D'où, l'équation de (RE) est [tex]y=\dfrac{4}{3}x-8[/tex]
Les coordonnées de N sont les solutions du système :
[tex]\left\{\begin{matrix}y=-\dfrac{4}{5}x+8\\\\y=\dfrac{4}{3}x-8 \end{matrix}\right.\ \ \ \left\{\begin{matrix}\dfrac{4}{3}x-8=-\dfrac{4}{5}x+8\\\\y=\dfrac{4}{3}x-8 \end{matrix}\right.\ \ \ \left\{\begin{matrix}\dfrac{4}{3}x+\dfrac{4}{5}x=8+8\\\\y=\dfrac{4}{3}x-8 \end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}\dfrac{20}{15}x+\dfrac{12}{15}x=16\\\\y=\dfrac{4}{3}x-8 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}\dfrac{32}{15}x=16\\\\y=\dfrac{4}{3}x-8 \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix}\dfrac{2}{15}x=1\\\\y=\dfrac{4}{3}x-8 \end{matrix}\right.\ \ \ \left\{\begin{matrix}x=\dfrac{15}{2}=7,5\\\\y=\dfrac{4}{3}x-8 \end{matrix}\right.\ \ \ \left\{\begin{matrix}x=7,5\\\\y=\dfrac{4}{3}\times7,5-8 \end{matrix}\right.\\\\\\\boxed{\left\{\begin{matrix}x=7,5\\\\y=2 \end{matrix}\right.}[/tex]
D'où, les coordonnées de N sont (7,5 ; 2)
[tex]3)\ EN=\sqrt{(x_N-x_E)^2+(y_N-y_E)^2}\\\\EN=\sqrt{(7,5-6)^2+(2-0)^2}=\sqrt{1,5^2+2^2}=\sqrt{2,25+4}=\sqrt{6,25}\\\\\boxed{EN=2,5}\\\\\\\\RN=\sqrt{(x_N-x_R)^2+(y_N-y_R)^2}\\\\RN=\sqrt{(7,5-12)^2+(2-8)^2}=\sqrt{4,5^2+(-6)^2}\\\\=\sqrt{20,25+36}=\sqrt{56,25}\\\\\boxed{RN=7,5}[/tex]
4) La droite (ET) est sur l'axe des abscisses.
La droite (BR) est parallèle à l'axe des abscisses car les ordonnées des points B et R sont égales
Les droites (ET) et (BR) sont donc parallèles.
De plus ET = 10 - 6 ==> ET = 4
et BR = 12 - 0 ==> BR = 12
D(où les droites (ET) et (BR) sont donc parallèles et que les droites (RE) et (BT) sont parallèles.
Par Thalès,
[tex]\dfrac{BR}{TE}=\dfrac{RN}{EN}[/tex]
Or
[tex]\dfrac{BR}{TE}=\dfrac{12}{4}=\boxed{3}\ \ \ et\ \ \dfrac{RN}{EN}=\dfrac{7,5}{2,5}=\boxed{3}[/tex]
Puisque les quotients sont tous les deux égaux à 3, nous avons donc vérifié que les distances EN et RN sont bien correctement calculées.
1) Une équation de (BT) est de la forme y = ax + b.
Calcul du coefficient directeur a
[tex]a=\dfrac{y_T-y_B}{x_T-x_B}=\dfrac{0-8}{10-0}=-\dfrac{8}{10}=-\dfrac{4}{5}[/tex]
L'ordonnée à l'origine de la droite est 8 car la droite passe par le point B(0;8)
Par conséquent, une équation de (BT) est : [tex]\boxed{y=-\dfrac{4}{5}x+8}[/tex]
2) Une équation de (RE) est de la forme y = ax + b.
Calcul du coefficient directeur a
[tex]a=\dfrac{y_E-y_R}{x_E-x_R}=\dfrac{0-8}{6-12}=\dfrac{-8}{-6}=\dfrac{4}{3}[/tex]
Nous savons déjà que l'équation de (RE) est de la forme [tex]y=\dfrac{4}{3}x+b[/tex]
Calcul de b.
Le point E(6;0) appartient à la droite (RE).
Dans l'équation de (RE), remplaçons x par 6 et y par 0
[tex]0=\dfrac{4}{3}\times6+b\Longrightarrow0=\dfrac{24}{3}+b\Longrightarrow0=8+b\Longrightarrow b=-8[/tex]
D'où, l'équation de (RE) est [tex]y=\dfrac{4}{3}x-8[/tex]
Les coordonnées de N sont les solutions du système :
[tex]\left\{\begin{matrix}y=-\dfrac{4}{5}x+8\\\\y=\dfrac{4}{3}x-8 \end{matrix}\right.\ \ \ \left\{\begin{matrix}\dfrac{4}{3}x-8=-\dfrac{4}{5}x+8\\\\y=\dfrac{4}{3}x-8 \end{matrix}\right.\ \ \ \left\{\begin{matrix}\dfrac{4}{3}x+\dfrac{4}{5}x=8+8\\\\y=\dfrac{4}{3}x-8 \end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}\dfrac{20}{15}x+\dfrac{12}{15}x=16\\\\y=\dfrac{4}{3}x-8 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}\dfrac{32}{15}x=16\\\\y=\dfrac{4}{3}x-8 \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix}\dfrac{2}{15}x=1\\\\y=\dfrac{4}{3}x-8 \end{matrix}\right.\ \ \ \left\{\begin{matrix}x=\dfrac{15}{2}=7,5\\\\y=\dfrac{4}{3}x-8 \end{matrix}\right.\ \ \ \left\{\begin{matrix}x=7,5\\\\y=\dfrac{4}{3}\times7,5-8 \end{matrix}\right.\\\\\\\boxed{\left\{\begin{matrix}x=7,5\\\\y=2 \end{matrix}\right.}[/tex]
D'où, les coordonnées de N sont (7,5 ; 2)
[tex]3)\ EN=\sqrt{(x_N-x_E)^2+(y_N-y_E)^2}\\\\EN=\sqrt{(7,5-6)^2+(2-0)^2}=\sqrt{1,5^2+2^2}=\sqrt{2,25+4}=\sqrt{6,25}\\\\\boxed{EN=2,5}\\\\\\\\RN=\sqrt{(x_N-x_R)^2+(y_N-y_R)^2}\\\\RN=\sqrt{(7,5-12)^2+(2-8)^2}=\sqrt{4,5^2+(-6)^2}\\\\=\sqrt{20,25+36}=\sqrt{56,25}\\\\\boxed{RN=7,5}[/tex]
4) La droite (ET) est sur l'axe des abscisses.
La droite (BR) est parallèle à l'axe des abscisses car les ordonnées des points B et R sont égales
Les droites (ET) et (BR) sont donc parallèles.
De plus ET = 10 - 6 ==> ET = 4
et BR = 12 - 0 ==> BR = 12
D(où les droites (ET) et (BR) sont donc parallèles et que les droites (RE) et (BT) sont parallèles.
Par Thalès,
[tex]\dfrac{BR}{TE}=\dfrac{RN}{EN}[/tex]
Or
[tex]\dfrac{BR}{TE}=\dfrac{12}{4}=\boxed{3}\ \ \ et\ \ \dfrac{RN}{EN}=\dfrac{7,5}{2,5}=\boxed{3}[/tex]
Puisque les quotients sont tous les deux égaux à 3, nous avons donc vérifié que les distances EN et RN sont bien correctement calculées.
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