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Yannis27
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Bonjour, j'aimerais bien savoir quelle est la forme canonique de [tex]f(x)= x^{2} +x+1 [/tex] et quelle est le minimum de f? Pas juste la réponse mais le plus d'étapes possibles s'il vous plait. Merci en avance

Sagot :

Syogier
la forme canonique d'une équation du second degré ax²+bx+c avec a différent de zéro (sinon ce n'est plus du second degré) s'écrit

 a (x-α)² +β . L'intérêt de cette écriture est un intérêt GRAPHIQUE. Si a >0, alors ta fonction a la forme d'une parabole en U avec un sommet S vers le bas de coordonnées (α ; β). Si a <0 la courbe est dans l'autre sens

Trouver la forme canonique de f(x) se fait de la façon suivante :

1/ tu mets a en facteur, mais ici comme a=1, ça n'a pas d'intérêt

2/ tu cherche ensuite à écrire (x-α)² =x²+α²-2xα, en fait tu cherches  α. tu as le début de la forme développée de ton identité remarquable : x²+x où x =-2xα

Je simplifie par x, il reste 1=-2α d'où α = -1/2

J'écris alors mon identité remarquable (x - (-1/2))² =x² +1/4-2x(-1/2) = x²+1/4+x

Par rapport à mon équation de départ j'ai écrit 1/4 de trop que je retranche :
mon écriture canonique est donc (x-(-1/2))²-1/4+1, ce qui donne au final
(X- (-1/2))² +3/4  a=1 donc supérieur à 0 : la courbe est en U et son sommet S a pour coordonnées (-1/2 ; 3/4) . je te mets la représentation graphique en pièce jointe
Tu remarqueras également que f(x) =0 n'a pas de solution : l'axe des X n'est pas coupé
View image Syogier
Bonjour  Yannis27

1) Forme canonique de f

[tex]f(x)=x^2+x+1\\\\f(x)=x^2+2\times\dfrac{1}{2}\times x+1\\\\f(x)=(x^2+2\times\dfrac{1}{2}\times x+\dfrac{1}{4})-\dfrac{1}{4}+1\\\\f(x)=(x+\dfrac{1}{2})^2-\dfrac{1}{4}+\dfrac{4}{4}\\\\\\\boxed{f(x)=(x+\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{3}{4}}[/tex] 

2) Minimum de f.

Remarque :

[tex]f(x)=(x+\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{3}{4}\Longrightarrow f(-\dfrac{1}{2})=(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{3}{4}\\\\\\\Longrightarrow f(-\dfrac{1}{2})=0^2+\dfrac{3}{4}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{f(-\dfrac{1}{2})=\dfrac{3}{4}}[/tex]

Recherche du minimum de f.


[tex](x+\dfrac{1}{2})^2\ge0[/tex]   car un carré n'est jamais négatif.

[tex](x+\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}[/tex] en ajoutant 3/4 aux deux membres de l'inégalité.

[tex]f(x)\ge\dfrac{3}{4}[/tex]  car   [tex]f(x)=(x+\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{3}{4}[/tex]

Puisque les images de x par la fonction f sont toujours supérieures à 3/4, nous pouvons dire que 3/4 est le minimum de f.

Or   [tex]f(-\dfrac{1}{2})=\dfrac{3}{4}[/tex]

Par conséquent, le minimum de f est atteint pour x = -1/2
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