Sagot :
Bonjour
Melizoou
1) f(0) = -3
f(-3) = -1,5
f(-6) = 3
f '(-3) = ?
Il faut déterminer le coefficient directeur de la tangente T3 au point (-3 ; -1,5).
En utilisant des mots approximatifs, nous pourrions dire que si nous partons du point (-3 ; -1,5) de la tangente T3 et que nous avançons de 2 unités vers la droite, nous devrons descendre d'1 unité pour retrouver la droite T3
Le coefficient directeur de T3 est donc -1/2 (-1 parce qu'on descend et +2 parce qu'on avance vers la droite)
donc f '(-3) = -1/2.
f '(-5) = ?
Il faut déterminer le coefficient directeur de la tangente T2 au point (-5 ; 0).
En utilisant des mots approximatifs, nous pourrions dire que si nous partons du point (-5 ; 0) de la tangente T2 et que nous avançons d' 1 unité vers la droite, nous devrons descendre de 2 unités pour retrouver la droite T2
Le coefficient directeur de T2 est donc -2/1 (-2 parce qu'on descend et +1 parce qu'on avance)
donc f '(-5) = -2/1 = -2.
f '(3) = ?
Il faut déterminer le coefficient directeur de la tangente T6 au point (3 ; 1).
En utilisant des mots approximatifs, nous pourrions dire que si nous partons du point (3 ; 1) de la tangente T6 et que nous avançons d' 1 unité vers la droite, nous devrons monter de 2 unités pour retrouver la droite T6
Le coefficient directeur de T6 est donc 2/1 (+2 parce qu'on monte et +1 parce qu'on avance)
donc f '(3) = 2/1 = 2.
2) f '(x) = 0 signifie que le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point (x ; f(x)) est égal à 0.
Graphiquement, cela se traduit par le fait que la courbe admet une droite tangente en un de ses points qui est parallèle à l'axe des abscisses.
Cette tangente est dont horizontale.
Les abscisses des points de la courbe où la tangente est horizontale sont (approximativement dans certains cas ) : x = -6 ; x = -0,5 ; x = 3,9 ; x = 7,1 ; x = 9
Donc f '(-6) = 0 ; f '(-0,5) = 0 ; f '(3,9) = 0 ; f '(7,1) = 0 ; f'(9) = 0
3) La dérivée f ' est négative si la fonction f est décroissante.
La dérivée f ' est positive si la fonction f est croissante.
Nous avons déterminé dans la question précédente les valeurs de x telles que la dérivée f ' est nulle.
D'où le tableau de signes de la dérivée :
[tex]\begin{array}{|c|ccccccccc|} x&-6&&-0,5&&3,9&&7,25&&9\\f'(x)&0&-&0&+&0&-&0&+&0\\ \end{array}[/tex]
4) Equation de la tangente T4.
Cette équation est de la forme : y = f '(-1)(x + 1) + f(-1)
Or f '(-1) = -1/1 = -1 (même démarche graphique que dans l'exercice 1)
f(-1) = -3
D'où : T4 : y = -1(x + 1) - 3
T4 : y = -x - 1 - 3
T4 : y = -x - 4
5) Tableau de signe de la fonction f
[tex]\begin{array}{|c|ccccccccccc|} x&-6&&-5&&2,5&&5,7&&8,25&&9\\f(x)&+&+&0&-&0&+&0&-&0&+&+\\ \end{array}[/tex]
6) Calcul de la dérivée.
[tex]f(x)=5x^3-6x^2+\dfrac{3}{x}\\\\f'(x)=5(x^3)'-6(x^2)'+3\times(\dfrac{1}{x})'\\\\f'(x)=5\times3x^2-6\times2x+3\times(-\dfrac{1}{x^2})\\\\\\\boxed{f'(x)=15x^2-12x-\dfrac{3}{x^2}}[/tex]
1) f(0) = -3
f(-3) = -1,5
f(-6) = 3
f '(-3) = ?
Il faut déterminer le coefficient directeur de la tangente T3 au point (-3 ; -1,5).
En utilisant des mots approximatifs, nous pourrions dire que si nous partons du point (-3 ; -1,5) de la tangente T3 et que nous avançons de 2 unités vers la droite, nous devrons descendre d'1 unité pour retrouver la droite T3
Le coefficient directeur de T3 est donc -1/2 (-1 parce qu'on descend et +2 parce qu'on avance vers la droite)
donc f '(-3) = -1/2.
f '(-5) = ?
Il faut déterminer le coefficient directeur de la tangente T2 au point (-5 ; 0).
En utilisant des mots approximatifs, nous pourrions dire que si nous partons du point (-5 ; 0) de la tangente T2 et que nous avançons d' 1 unité vers la droite, nous devrons descendre de 2 unités pour retrouver la droite T2
Le coefficient directeur de T2 est donc -2/1 (-2 parce qu'on descend et +1 parce qu'on avance)
donc f '(-5) = -2/1 = -2.
f '(3) = ?
Il faut déterminer le coefficient directeur de la tangente T6 au point (3 ; 1).
En utilisant des mots approximatifs, nous pourrions dire que si nous partons du point (3 ; 1) de la tangente T6 et que nous avançons d' 1 unité vers la droite, nous devrons monter de 2 unités pour retrouver la droite T6
Le coefficient directeur de T6 est donc 2/1 (+2 parce qu'on monte et +1 parce qu'on avance)
donc f '(3) = 2/1 = 2.
2) f '(x) = 0 signifie que le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point (x ; f(x)) est égal à 0.
Graphiquement, cela se traduit par le fait que la courbe admet une droite tangente en un de ses points qui est parallèle à l'axe des abscisses.
Cette tangente est dont horizontale.
Les abscisses des points de la courbe où la tangente est horizontale sont (approximativement dans certains cas ) : x = -6 ; x = -0,5 ; x = 3,9 ; x = 7,1 ; x = 9
Donc f '(-6) = 0 ; f '(-0,5) = 0 ; f '(3,9) = 0 ; f '(7,1) = 0 ; f'(9) = 0
3) La dérivée f ' est négative si la fonction f est décroissante.
La dérivée f ' est positive si la fonction f est croissante.
Nous avons déterminé dans la question précédente les valeurs de x telles que la dérivée f ' est nulle.
D'où le tableau de signes de la dérivée :
[tex]\begin{array}{|c|ccccccccc|} x&-6&&-0,5&&3,9&&7,25&&9\\f'(x)&0&-&0&+&0&-&0&+&0\\ \end{array}[/tex]
4) Equation de la tangente T4.
Cette équation est de la forme : y = f '(-1)(x + 1) + f(-1)
Or f '(-1) = -1/1 = -1 (même démarche graphique que dans l'exercice 1)
f(-1) = -3
D'où : T4 : y = -1(x + 1) - 3
T4 : y = -x - 1 - 3
T4 : y = -x - 4
5) Tableau de signe de la fonction f
[tex]\begin{array}{|c|ccccccccccc|} x&-6&&-5&&2,5&&5,7&&8,25&&9\\f(x)&+&+&0&-&0&+&0&-&0&+&+\\ \end{array}[/tex]
6) Calcul de la dérivée.
[tex]f(x)=5x^3-6x^2+\dfrac{3}{x}\\\\f'(x)=5(x^3)'-6(x^2)'+3\times(\dfrac{1}{x})'\\\\f'(x)=5\times3x^2-6\times2x+3\times(-\dfrac{1}{x^2})\\\\\\\boxed{f'(x)=15x^2-12x-\dfrac{3}{x^2}}[/tex]
Merci d'être un membre actif de notre communauté. Continuez à poser des questions, à répondre et à partager vos idées. Ensemble, nous pouvons atteindre de nouveaux sommets de connaissances. Pour des réponses rapides et fiables, pensez à FRstudy.me. Merci de votre visite et à bientôt.
