Sagot :
Bonjour Enileme
Exercice 1
[tex]f(x)=\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\ \ (x\in]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}[)[/tex]
[tex]1)\ f(-x)=\tan(-x)=\dfrac{\sin(-x)}{\cos(-x)}=\dfrac{-\sin x}{\cos x}=-\dfrac{\sin x}{\cos x}=-\tan x=-f(x)\\\\\Longrightarrow\boxed{f(-x)=-f(x)}[/tex]
D'où, la fonction f est impaire.
Graphiquement, la courbe Cf est donc symétrique par rapport à l'origine O du repère.
Nous pouvons donc étudier la fonction f sur l'intervalle J=[0 ; pi/2[.
[tex]2)\ \left\{\begin{matrix}\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\sin x=1\\\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}^-}\cos x=0^+ \end{matrix}\right.\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}^-}f(x)=+\infty}[/tex]
Graphiquement, nous pouvons déduire l'existence d'une asymptote verticale d'équation [tex]\boxed{x=\dfrac{\pi}{2}}[/tex]
3) les fonction sin et cos sont dérivables sur l'intervalle I.
La fonction cos ne s'annule pas sur cet intervalle I.
Par conséquent, la fonction f est dérivable sur I car f est le quotient de deux fonctions dérivables sur I.
[tex]f'(x)=(\dfrac{\sin x}{\cos x})'=\dfrac{(\sin x)'\times\cos x-\sin x\times(\cos x)'}{\cos^2x}\\\\f'(x)=\dfrac{\cos x\times\cos x-\sin x\times(-\sin x)}{\cos^2 x}\\\\f'(x)=\dfrac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2 x}=\boxed{\dfrac{1}{\cos^2 x}}\\\\ou\\\\f'(x)=\dfrac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2 x}=\dfrac{\cos^2x}{\cos^2 x}+\dfrac{\sin^2x}{\cos^2 x}=\boxed{1+\tan^2 x}}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=\dfrac{1}{\cos^2 x}=1+\tan^2 x}[/tex]
4) [tex]f'(x)=1+\tan^2 x\ \textgreater \ 0[/tex] car f '(x) est une somme de deux carrés.
Donc f est strictement croissante sur I.
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&-\dfrac{\pi}{2}&&&&\dfrac{\pi}{2}\\&&&&&\\f(x)&||-\infty&&\nearrow&&+\infty||\\ \end{array}[/tex]
5) Une équation de la tangente T à Cf au point d'abscisse 0 est de la forme : y = f '(0)(x - 0) + f(0), soit y = f '(0) x + f(0).
Or f '(0) = 1 + tan²0 = 1 + 0 = 1
f (0) = 0
D'où une équation de T est [tex]\boxed{y=x}[/tex]
6) Nous devons étudier le signe de f(x) - x.
[tex]f(x)-x=\dfrac{\sin x}{\cos x}-x=\dfrac{\sin x}{\cos x}-\dfrac{x\cos x}{\cos x}=\dfrac{\sin x-x\cos x}{\cos x}[/tex]
Puisque cos x > 0 sur I, nous devons donc étudier le signe de g(x)=sinx - xcosx.
[tex]g'(x)=(\sin x)'-(x\cos x)'= \cos x-[1\times\cos x+x\times(-\sin x)]\\\\= \cos x-\cos x+x\sin x=x\sin x\\\\\Longrightarrow\boxed{g'(x)=x\sin x}\\\\\begin{array}{|c|ccccc|} x&-\dfrac{\pi}{2}&&0&&\dfrac{\pi}{2}\\g'(x)&&+&0&+&\\g(x)&-1&\nearrow&0&\nearrow&1\\&&&&&\\g(x)&-1&-&0&+&1\\ \end{array}[/tex]
Par conséquent,
Sur l'intervalle ]-pi/2 ; 0], f(x)-x < 0 ===> la courbe Cf est en-dessous de la tangente T.
Sur l'intervalle [0 ; p/2[, f(x)-x > 0 ===> la courbe Cf est au-dessus de la tangente T.
Exercice 2.
1) Ok.
[tex]2)\ \sin(\dfrac{\pi}{4}-3x)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\\\sin(\dfrac{\pi}{4}-3x)=\sin(-\dfrac{\pi}{4})\\\\\dfrac{\pi}{4}-3x=-\dfrac{\pi}{4}[2\pi]\ \ ou\ \ \dfrac{\pi}{4}-3x=\pi+\dfrac{\pi}{4}[2\pi]\\\\-3x=(-\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{4})[2\pi]\ \ ou\ \ -3x=\pi[2\pi]\\\\-3x=-\dfrac{\pi}{2}[2\pi]\ \ ou\ \ -3x=\pi[2\pi]\\\\x=\dfrac{\pi}{6}[\dfrac{2\pi}{3}]\ \ ou\ \ x=-\dfrac{\pi}{3}[\dfrac{2\pi}{3}]\\\\\boxed{S_{[0;2\pi[}=\{\dfrac{\pi}{6};\dfrac{5\pi}{6};\dfrac{3\pi}{2};\dfrac{\pi}{3};\pi;\dfrac{5\pi}{3}\}}[/tex]
[tex]3)\ \sin(3x-\dfrac{\pi}{4})=\cos(\dfrac{\pi}{3}-x)\\\\\sin(3x-\dfrac{\pi}{4})=\cos(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{6}-x)\\\\\sin(3x-\dfrac{\pi}{4})=\cos[\dfrac{\pi}{2}-(\dfrac{\pi}{6}+x)]\\\\\sin(3x-\dfrac{\pi}{4})=\sin(\dfrac{\pi}{6}+x)\\\\3x-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{6}+x[2\pi]\ \ ou\ \ 3x-\dfrac{\pi}{4}=\pi-(\dfrac{\pi}{6}+x)[2\pi]\\\\3x-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{6}+x[2\pi]\ \ ou\ \ 3x-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{5\pi}{6}-x[2\pi][/tex]
[tex]2x=\dfrac{5\pi}{12}[2\pi]\ \ ou\ \ 4x=\dfrac{13\pi}{12}[2\pi]\\\\x=\dfrac{5\pi}{24}[\pi]\ \ ou\ \ x=\dfrac{13\pi}{48}[\dfrac{\pi}{2}]\\\\\boxed{S_{]-\pi;\pi]}=\{-\dfrac{19\pi}{24};\dfrac{5\pi}{24};-\dfrac{35\pi}{48};\dfrac{13\pi}{48}\}}[/tex]
Exercice 1
[tex]f(x)=\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\ \ (x\in]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}[)[/tex]
[tex]1)\ f(-x)=\tan(-x)=\dfrac{\sin(-x)}{\cos(-x)}=\dfrac{-\sin x}{\cos x}=-\dfrac{\sin x}{\cos x}=-\tan x=-f(x)\\\\\Longrightarrow\boxed{f(-x)=-f(x)}[/tex]
D'où, la fonction f est impaire.
Graphiquement, la courbe Cf est donc symétrique par rapport à l'origine O du repère.
Nous pouvons donc étudier la fonction f sur l'intervalle J=[0 ; pi/2[.
[tex]2)\ \left\{\begin{matrix}\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\sin x=1\\\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}^-}\cos x=0^+ \end{matrix}\right.\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}^-}f(x)=+\infty}[/tex]
Graphiquement, nous pouvons déduire l'existence d'une asymptote verticale d'équation [tex]\boxed{x=\dfrac{\pi}{2}}[/tex]
3) les fonction sin et cos sont dérivables sur l'intervalle I.
La fonction cos ne s'annule pas sur cet intervalle I.
Par conséquent, la fonction f est dérivable sur I car f est le quotient de deux fonctions dérivables sur I.
[tex]f'(x)=(\dfrac{\sin x}{\cos x})'=\dfrac{(\sin x)'\times\cos x-\sin x\times(\cos x)'}{\cos^2x}\\\\f'(x)=\dfrac{\cos x\times\cos x-\sin x\times(-\sin x)}{\cos^2 x}\\\\f'(x)=\dfrac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2 x}=\boxed{\dfrac{1}{\cos^2 x}}\\\\ou\\\\f'(x)=\dfrac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2 x}=\dfrac{\cos^2x}{\cos^2 x}+\dfrac{\sin^2x}{\cos^2 x}=\boxed{1+\tan^2 x}}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=\dfrac{1}{\cos^2 x}=1+\tan^2 x}[/tex]
4) [tex]f'(x)=1+\tan^2 x\ \textgreater \ 0[/tex] car f '(x) est une somme de deux carrés.
Donc f est strictement croissante sur I.
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&-\dfrac{\pi}{2}&&&&\dfrac{\pi}{2}\\&&&&&\\f(x)&||-\infty&&\nearrow&&+\infty||\\ \end{array}[/tex]
5) Une équation de la tangente T à Cf au point d'abscisse 0 est de la forme : y = f '(0)(x - 0) + f(0), soit y = f '(0) x + f(0).
Or f '(0) = 1 + tan²0 = 1 + 0 = 1
f (0) = 0
D'où une équation de T est [tex]\boxed{y=x}[/tex]
6) Nous devons étudier le signe de f(x) - x.
[tex]f(x)-x=\dfrac{\sin x}{\cos x}-x=\dfrac{\sin x}{\cos x}-\dfrac{x\cos x}{\cos x}=\dfrac{\sin x-x\cos x}{\cos x}[/tex]
Puisque cos x > 0 sur I, nous devons donc étudier le signe de g(x)=sinx - xcosx.
[tex]g'(x)=(\sin x)'-(x\cos x)'= \cos x-[1\times\cos x+x\times(-\sin x)]\\\\= \cos x-\cos x+x\sin x=x\sin x\\\\\Longrightarrow\boxed{g'(x)=x\sin x}\\\\\begin{array}{|c|ccccc|} x&-\dfrac{\pi}{2}&&0&&\dfrac{\pi}{2}\\g'(x)&&+&0&+&\\g(x)&-1&\nearrow&0&\nearrow&1\\&&&&&\\g(x)&-1&-&0&+&1\\ \end{array}[/tex]
Par conséquent,
Sur l'intervalle ]-pi/2 ; 0], f(x)-x < 0 ===> la courbe Cf est en-dessous de la tangente T.
Sur l'intervalle [0 ; p/2[, f(x)-x > 0 ===> la courbe Cf est au-dessus de la tangente T.
Exercice 2.
1) Ok.
[tex]2)\ \sin(\dfrac{\pi}{4}-3x)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\\\sin(\dfrac{\pi}{4}-3x)=\sin(-\dfrac{\pi}{4})\\\\\dfrac{\pi}{4}-3x=-\dfrac{\pi}{4}[2\pi]\ \ ou\ \ \dfrac{\pi}{4}-3x=\pi+\dfrac{\pi}{4}[2\pi]\\\\-3x=(-\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{4})[2\pi]\ \ ou\ \ -3x=\pi[2\pi]\\\\-3x=-\dfrac{\pi}{2}[2\pi]\ \ ou\ \ -3x=\pi[2\pi]\\\\x=\dfrac{\pi}{6}[\dfrac{2\pi}{3}]\ \ ou\ \ x=-\dfrac{\pi}{3}[\dfrac{2\pi}{3}]\\\\\boxed{S_{[0;2\pi[}=\{\dfrac{\pi}{6};\dfrac{5\pi}{6};\dfrac{3\pi}{2};\dfrac{\pi}{3};\pi;\dfrac{5\pi}{3}\}}[/tex]
[tex]3)\ \sin(3x-\dfrac{\pi}{4})=\cos(\dfrac{\pi}{3}-x)\\\\\sin(3x-\dfrac{\pi}{4})=\cos(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{6}-x)\\\\\sin(3x-\dfrac{\pi}{4})=\cos[\dfrac{\pi}{2}-(\dfrac{\pi}{6}+x)]\\\\\sin(3x-\dfrac{\pi}{4})=\sin(\dfrac{\pi}{6}+x)\\\\3x-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{6}+x[2\pi]\ \ ou\ \ 3x-\dfrac{\pi}{4}=\pi-(\dfrac{\pi}{6}+x)[2\pi]\\\\3x-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{6}+x[2\pi]\ \ ou\ \ 3x-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{5\pi}{6}-x[2\pi][/tex]
[tex]2x=\dfrac{5\pi}{12}[2\pi]\ \ ou\ \ 4x=\dfrac{13\pi}{12}[2\pi]\\\\x=\dfrac{5\pi}{24}[\pi]\ \ ou\ \ x=\dfrac{13\pi}{48}[\dfrac{\pi}{2}]\\\\\boxed{S_{]-\pi;\pi]}=\{-\dfrac{19\pi}{24};\dfrac{5\pi}{24};-\dfrac{35\pi}{48};\dfrac{13\pi}{48}\}}[/tex]
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