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Bonjour, j'ai besoin d'aide pour un DM de maths, merci d'avance. C'est un vrai ou faux

Les affirmations sont elles vraies ou fausses? Tout le temps justifier votre réponse

1-Toute suite bornée est convergente
2-Toute suite géométrique strictement décroissante est divergente
3-Si Un>Vn à partir d'un certain rang n et si la suite (Vn) est croissante, alors lim Un= +infini
4-La suite de terme général (2^n+3^n)/(2^n-3^n) est convergente
5-La suite de terme général (2n+(-1)^n)/(3n+1) est divergente
6-On considère une suite Un strictement positive et la suite Vn définie par Vn=1/(Un+2)
a)Si la suite Un est convergente, alors la suite Vn l'est aussi
b)Si la suite Vn est convergente, alors la suite Un l'est aussi
7-La suite de terme général √(9n²+n)-3n est divergente

J'ai vraiment besoin d'aide pour au moins comprendre pourquoi c'est faux ou vrai. Merci d'avance
Bonne soirée

Sagot :

Laurance


1-Toute suite bornée est convergente
Faux  : la suite  définie  par   un  = (-1)^n  est  bien bornée   puisque tous les termes sont compris entre  -1 et 1   mais elle est  périodique  donc divergente 
2-Toute suite géométrique strictement décroissante est divergente
Faux    la suite  définie  par   un  =( 1/2)^n  est décroissante  mais 
converge vers 0 
3-Si Un>Vn à partir d'un certain rang n et si la suite (Vn) est croissante, alors lim Un= +infini
Faux  prenons  un = - 1/(2n)   et  vn = -1/n    un  - vn =  1/(2n) >0  
donc   un>vn  ;  vn+1  -vn = -1/(n+1)  + 1/n =  (-n+n+1) /(n(n+1) ) = 1/(n(n+1) ) >0  donc la suite (vn) est croissante  et  pourtant lim un=0
4-La suite de terme général (2^n+3^n)/(2^n-3^n) est convergente :VRAI
(2^n+3^n)/(2^n-3^n) =  ((2/3)^n+1)/((2/3)^n-1)   qui a pour limite -1
 car  lim (2/3)^n =0 
5-La suite de terme général (2n+(-1)^n)/(3n+1) est divergente :FAUX
(2n+(-1)^n)/(3n+1)  = (2+(-1)^n/n)/(3+1/n)  qui converge vers 2/3 
6-On considère une suite Un strictement positive et la suite Vn définie par Vn=1/(Un+2)
a)Si la suite Un est convergente, alors la suite Vn l'est aussi
VRAI  car  limUn = L  forcément  L≠-2   et  lim Vn  = 1 /(L+2)
b)Si la suite Vn est convergente, alors la suite Un l'est aussi
Faux    prenons   Un=n    Vn = 1/(n+2)  converge bien vers 0  mais Un diverge 
7-La suite de terme général √(9n²+n)-3n est divergente  FAUX
√(9n²+n)-3n = ( √(9n²+n)-3n )(√(9n²+n)+3n ) /(√(9n²+n)+3n )
=(9n²+n-9n²)  / 3n(  √(1+1/(3n))+ 1 ) = 1  / 3(  √(1+1/(3n))+ 1 ) 
qui converge vers 1  / 3(  √(1+ 1 ) = 1/6 
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