Bonjour,
f(x) = a + b/x a et b différents de 0
f'(x) = -b/x^2
1) Tangente à Cf en x=1 : y = 3x - 2
Tgte à Cf en x=1 : y = f'(1)(x-1) + f(1)
f(1) = a + b et f'(1) = -b
==> y = -b(x-1) + a + b = -bx + a + 2b
Donc :
-b = 3
et a + 2b = -2
Soit :
b = -3
a = -2 - 2b = -2 + 6 = 4
==> f(x) = 4 -3/x
2) Tgte à Cf en x=1 : y = -bx + a + 2b
Coupe Ox en x=-2 ==> -b(-2) + a + 2b = 0 soit a + 4b = 0
Coupe Oy en y=-1 ==> -1 = a + 2b
On a donc à résoudre :
a + 4b = 0 (1)
a + 2b = -1 (2)
(1) - (2) ==> a + 4b - a - 2b = 1 ==> b = 1/2
a = -4b = -4/2 = -2
==> f(x) = -2 + 1/2x
Ex 3) f(x) = ax^2 + bx + c
f'(x) = 2ax + b
En x=5/2, f'(5/2) = 0 ==> 5a + b = 0 (1)
f(5/2) = 25a/4 + 5b/2 + c = 15/2
==> 25a + 10b + 4c = 30 (2)
En x=0, f(0) = 7
==> ax0^2 + bx0 + c = 7 ==> c = 7 (3)
Le système à résoudre est donc :
5a + b = 0
25a + 10b + 28 = 30
soit b = -5a
et 25a -50a = 2
==> a = -2/25 et b = 10/25
f(x) = -2x^2/25 + 10x/25 + 7
2) Le prolongement se fait sans cassure. Ce qui signifie que l'on conserve la même pente en B qu'en A.
Pente en A = f'(0)
f'(x) = -4x/25 + 10/25 ==> f'(0) = 10/25 = 2/5
Equation de (AB) : y = ax + b
On a déjà a = 2/5
A appartient à (AB) ==> 7 = 0x + b ==> b = 7
Equation de (AB) : y = 2x/5 + 7
B appartient à (AB) et xB = -4
==> yB = 2(-4)/5 + 7 = -8/5 + 35/5 = 27/5
