Obtenez des conseils avisés et des réponses précises sur FRstudy.me. Découvrez des réponses approfondies de professionnels expérimentés couvrant un large éventail de sujets pour satisfaire tous vos besoins d'information.
Sagot :
Bonjour
Saroulepoux03
Soit la fonction f définie sur [0 ; +oo[ par [tex]f(x)=\dfrac{3x+2}{x+4}[/tex]
Montrons que la fonction f est croissante sur [0 ; +oo[.
[tex]f(x)=\dfrac{3x+2}{x+4}\\\\f'(x)=\dfrac{(3x+2)'(x+4)-(3x+2)(x+4)'}{(x+4)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{3(x+4)-(3x+2)\times1}{(x+4)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{3x+12-3x-2}{(x+4)^2}\\\\\\\boxed{f'(x)=\dfrac{10}{(x+4)^2}}[/tex]
10>0 et (x+4)²>0 ==> f '(x) > 0 sur [0 ; +oo[.
Par conséquent, la fonction f est croissante sur [0 ; +oo[.
La suite (Un) est définie par U0=6 et [tex]u_{n+1}=\dfrac{3u_n+2}{u_n+4}[/tex]
ou encore
la suite (Un) est définie par U0=6 et [tex]u_{n+1}=f(u_n)[/tex]
3 a) Montrons par récurrence que pour tout entier n ≥ 0, on a [tex]u_{n+1}\ge0[/tex]
Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0.
Montrons donc que U1 ≥ 0.
[tex]u_0=6\\\\u_{1}=\dfrac{3u_0+2}{u_0+4}=\dfrac{3\times6+2}{6+4}=\dfrac{20}{10}=2\Longrightarrow\boxed{u_1\ge0}[/tex]
D'où l'initialisation est vraie.
Hérédité :
Si, pour un entier n ≥ 0 fixé, nous avons [tex]u_{n}\ge0[/tex]
alors montrons que [tex]u_{n+1}\ge0[/tex]
En effet,
[tex]u_n\ge0\Longrightarrow3u_n+2\ge0\\\\u_n\ge0\Longrightarrow u_n+4\ \textgreater \ 0\\\\\\\Longrightarrow\dfrac{3u_n+2}{u_n+4}\ge0\\\\\Longrightarrow\boxed{u_{n+1}\ge0}[/tex]
D'où l'hérédité est vraie quelle que soit la valeur de n.
Par conséquent, pour tout entier n ≥ 0, on a [tex]u_{n+1}\ge0[/tex]
b) Montrons par récurrence que pour tout entier n ≥ 0, on a [tex]u_{n+1}\le u_n[/tex]
Initialisation :
Montrons que [tex]u_{1}\le u_0[/tex]
En effet
[tex]u_0=6\ \ et\ \ u_1=2\\\\2\ \textless \ 6\Longrightarrow\boxed{u_1\le u_0}[/tex]
D'où l'initialisation est vraie.
Hérédité :
Si, pour un entier n ≥ 0 fixé, nous avons [tex]u_{n+1}\le u_n[/tex]
alors montrons que [tex]u_{n+2}\le u_{n+1}[/tex]
En effet
La fonction f est croissante sur [0 ; +oo[
Donc :
[tex]u_{n+1}\le u_n\Longrightarrow f(u_{n+1})\le f(u_n)\\\\u_{n+1}\le u_n\Longrightarrow\boxed{u_{n+2}\le u_{n+1}}[/tex]
D'où l'hérédité est vraie quelle que soit la valeur de n.
Par conséquent, pour tout entier n ≥ 0, on a [tex]u_{n+1}\le u_n[/tex]
c) Montrons par récurrence que pour tout entier n ≥ 0, on a [tex]u_{n}\le6[/tex]
Initialisation :
Montrons que [tex]u_{0}\le6[/tex]
Cette inégalité est vraie par définition de la suite (Un)
Hérédité
Si, pour un entier n ≥ 0 fixé, nous avons [tex]u_{n}\le6[/tex]
alors montrons que [tex]u_{n+1}\le6[/tex]
En effet
[tex]u_{n+1}=\dfrac{3u_n+2}{u_n+4}\\\\u_{n+1}=\dfrac{3u_n+12-12+2}{u_n+4}\\\\u_{n+1}=\dfrac{3(u_n+4)-10}{u_n+4}\\\\u_{n+1}=\dfrac{3(u_n+4)}{u_n+4}-\dfrac{10}{u_n+4}\\\\\boxed{u_{n+1}=3-\dfrac{10}{u_n+4}}[/tex]
Or
[tex]0\le u_n\le6\Longrightarrow0+4\le u_n+4\le6+4\\\\\Longrightarrow4\le u_n+4\le10\\\\\Longrightarrow\dfrac{1}{u_n+4}\ge\dfrac{1}{10}\\\\\Longrightarrow\dfrac{10}{u_n+4}\ge1\\\\\Longrightarrow-\dfrac{10}{u_n+4}\le-1\\\\\Longrightarrow3-\dfrac{10}{u_n+4}\le3-1\\\\\Longrightarrow3-\dfrac{10}{u_n+4}\le2\\\\\Longrightarrow u_{n+1}\le2\\\\\Longrightarrow\boxed{ u_{n+1}\le6}[/tex]
D'où l'hérédité est vraie.
Par conséquent, pour tout entier n ≥ 0, on a [tex]u_{n}\le6[/tex].
Nous en déduisons que pour tout entier n ≥ 0
[tex]\boxed{0\le u_{n+1}\le u_n\le6}[/tex]
Soit la fonction f définie sur [0 ; +oo[ par [tex]f(x)=\dfrac{3x+2}{x+4}[/tex]
Montrons que la fonction f est croissante sur [0 ; +oo[.
[tex]f(x)=\dfrac{3x+2}{x+4}\\\\f'(x)=\dfrac{(3x+2)'(x+4)-(3x+2)(x+4)'}{(x+4)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{3(x+4)-(3x+2)\times1}{(x+4)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{3x+12-3x-2}{(x+4)^2}\\\\\\\boxed{f'(x)=\dfrac{10}{(x+4)^2}}[/tex]
10>0 et (x+4)²>0 ==> f '(x) > 0 sur [0 ; +oo[.
Par conséquent, la fonction f est croissante sur [0 ; +oo[.
La suite (Un) est définie par U0=6 et [tex]u_{n+1}=\dfrac{3u_n+2}{u_n+4}[/tex]
ou encore
la suite (Un) est définie par U0=6 et [tex]u_{n+1}=f(u_n)[/tex]
3 a) Montrons par récurrence que pour tout entier n ≥ 0, on a [tex]u_{n+1}\ge0[/tex]
Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0.
Montrons donc que U1 ≥ 0.
[tex]u_0=6\\\\u_{1}=\dfrac{3u_0+2}{u_0+4}=\dfrac{3\times6+2}{6+4}=\dfrac{20}{10}=2\Longrightarrow\boxed{u_1\ge0}[/tex]
D'où l'initialisation est vraie.
Hérédité :
Si, pour un entier n ≥ 0 fixé, nous avons [tex]u_{n}\ge0[/tex]
alors montrons que [tex]u_{n+1}\ge0[/tex]
En effet,
[tex]u_n\ge0\Longrightarrow3u_n+2\ge0\\\\u_n\ge0\Longrightarrow u_n+4\ \textgreater \ 0\\\\\\\Longrightarrow\dfrac{3u_n+2}{u_n+4}\ge0\\\\\Longrightarrow\boxed{u_{n+1}\ge0}[/tex]
D'où l'hérédité est vraie quelle que soit la valeur de n.
Par conséquent, pour tout entier n ≥ 0, on a [tex]u_{n+1}\ge0[/tex]
b) Montrons par récurrence que pour tout entier n ≥ 0, on a [tex]u_{n+1}\le u_n[/tex]
Initialisation :
Montrons que [tex]u_{1}\le u_0[/tex]
En effet
[tex]u_0=6\ \ et\ \ u_1=2\\\\2\ \textless \ 6\Longrightarrow\boxed{u_1\le u_0}[/tex]
D'où l'initialisation est vraie.
Hérédité :
Si, pour un entier n ≥ 0 fixé, nous avons [tex]u_{n+1}\le u_n[/tex]
alors montrons que [tex]u_{n+2}\le u_{n+1}[/tex]
En effet
La fonction f est croissante sur [0 ; +oo[
Donc :
[tex]u_{n+1}\le u_n\Longrightarrow f(u_{n+1})\le f(u_n)\\\\u_{n+1}\le u_n\Longrightarrow\boxed{u_{n+2}\le u_{n+1}}[/tex]
D'où l'hérédité est vraie quelle que soit la valeur de n.
Par conséquent, pour tout entier n ≥ 0, on a [tex]u_{n+1}\le u_n[/tex]
c) Montrons par récurrence que pour tout entier n ≥ 0, on a [tex]u_{n}\le6[/tex]
Initialisation :
Montrons que [tex]u_{0}\le6[/tex]
Cette inégalité est vraie par définition de la suite (Un)
Hérédité
Si, pour un entier n ≥ 0 fixé, nous avons [tex]u_{n}\le6[/tex]
alors montrons que [tex]u_{n+1}\le6[/tex]
En effet
[tex]u_{n+1}=\dfrac{3u_n+2}{u_n+4}\\\\u_{n+1}=\dfrac{3u_n+12-12+2}{u_n+4}\\\\u_{n+1}=\dfrac{3(u_n+4)-10}{u_n+4}\\\\u_{n+1}=\dfrac{3(u_n+4)}{u_n+4}-\dfrac{10}{u_n+4}\\\\\boxed{u_{n+1}=3-\dfrac{10}{u_n+4}}[/tex]
Or
[tex]0\le u_n\le6\Longrightarrow0+4\le u_n+4\le6+4\\\\\Longrightarrow4\le u_n+4\le10\\\\\Longrightarrow\dfrac{1}{u_n+4}\ge\dfrac{1}{10}\\\\\Longrightarrow\dfrac{10}{u_n+4}\ge1\\\\\Longrightarrow-\dfrac{10}{u_n+4}\le-1\\\\\Longrightarrow3-\dfrac{10}{u_n+4}\le3-1\\\\\Longrightarrow3-\dfrac{10}{u_n+4}\le2\\\\\Longrightarrow u_{n+1}\le2\\\\\Longrightarrow\boxed{ u_{n+1}\le6}[/tex]
D'où l'hérédité est vraie.
Par conséquent, pour tout entier n ≥ 0, on a [tex]u_{n}\le6[/tex].
Nous en déduisons que pour tout entier n ≥ 0
[tex]\boxed{0\le u_{n+1}\le u_n\le6}[/tex]
Nous apprécions votre participation active dans ce forum. Continuez à explorer, poser des questions et partager vos connaissances avec la communauté. Ensemble, nous trouvons les meilleures solutions. Chaque question trouve sa réponse sur FRstudy.me. Merci et à bientôt pour d'autres solutions fiables.
