Bonjour,
Exo 1)
Dérivabilité de xV(x) en 0
La fonction est définie sur [0,+infini[
On calcule le taux d'accroissement en x=0
t = (f(x) - f(0))/(x - 0) = V(x)
lim t quand x--> 0+ = 0
Donc f dérivable en 0.
On peut aussi calculer t comme suit :
(f(0+h) - f(0))/h = hV(h)/h = V(h)
Et donc lim t quand h-->0 = limV(h) = 0
De manière générale une fonction est dérivable en x0 si la limite du taux d'accroissement quand x-->x0 est finie (réelle).
Ici, c'est un cas particulier, car f n'est pas définie en 0-. Ce qui ne change rien à la méthode.
Remarque : f'(x) = 1.V(x) + x.1/2V(x) = V(x) + V(x)/2 = 3V(x)/2 parfaitement définie pour x = 0.
Exercice 2 :
f(x) = ax^3 + bx^2 + c
Il faut juste traduire l'énoncé :
. Cf coupe Ox en A d'abscisse 1 ==> A(1;0) appartient à Cf
==> 0 = a + b + c
. Cf passe par B(-1;2)
==> 2 = -a + b + c
. Tangente en B(-1;2)
Equation générale d'une tangente au point M(x0;y0) :
y = f'(x0)(x - x0) + f(x0)
f'(x) = 3ax^2 + 2bx
==> Tangente en B : y = (3a - 2b)(x +1) + 2
soit : y = (3a - 2b)x + (3a - 2b) + 2
Equation de la droite T : y = mx + p
T passe par B ==> 2 = -m + p
T passe par C(0;5) ==> 5 = p
Donc p = 5 et m = 3
==> T : y = 3x + 5
Par analogie des termes entre l'équation de T et l'équation de la tangente à Cf calculée, il faut :
3a - 2b = 3
(3a - 2b) + 2 = 5
==> 3a - 2b = 3
On a donc le système suivant :
a + b + c = 0 (1)
-a + b + c = 2 (2)
3a - 2b = 3 (3)
(1) + (2) ==> b + c = 1
==> a = -1
(3) ==> -3 - 2b = 3 ==> b = -3
c = 1 - b = 4
On vérifie : y = (3a - 2b)(x+1) + 2 = (-3 + 6)(x+1) + 2 = 3(x+1) + 2 = 3x + 5
==> f(x) = -x^3 - 3x^2 + 4
Exercice 3
f(x) = x^2 - 3x - 1
f'(x) = 2x - 3
A(a;f(a))
Tgte en A : y = (2a - 3)(x - a) + a^2 - 3a -1 = (2a - 3)x - 2a^2 + 3a + a^2 - 3a - 1 = (2a - 3)x - a^2 - 1
2) tgte // à y=x ?
Donc coefficient directeur = 1
2a - 3 = 1 ==> a = 2
Soit tgte : y = x - 5
3) tgte passe par O(0;0) ?
==> 0 = - a^2 - 1
impossible
