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Titimayana
Answered

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Bonsoir! Je suis en Ts et je suis face à une exercice sur la suite géométrique,jai besoin d'aide svp!

U0=1 ,v0=racine de 2, Un+1=(Un+Vn) : 2 et Vn+1= ( Un+Vn racine de 2) : (1+racine de 2)

Wn=Vn-Un

1)a. Montrer que la suite (Wn) est une suite géométrique de raison 3/2 - racine de 2
b) en déduire sa limite
2) Montrer que, pour tout entier naturel n,Un inferieur ou égal à Vn
3) Déterminer le sens de variation de suites Un et Vn
4) Démontrer alors que les suites Un et Vn sont convergentes et ont la même limite.

Merci d'avance de votre aide
Bonne soirée

Sagot :

Scoladan
Bonsoir,

1) (je vais noter V(2) pour racine de 2)

Wn+1 = Vn+1 - Un+1

= (Un + V(2)Vn)/(1 + V2) - (Un + Vn)/2

= 1/2(1 + V(2))  x  [2Un + 2V(2)Vn - Un - V(2)Un - Vn - V(2)Vn]

= 1/2(1 + V(2)) x [Un(1 - V2) + Vn(V(2) - 1)]

= (V(2) - 1)(Vn - Un)/2(1 + V(2))

= (V(2) - 1)^2x(Vn - Un)/2(V(2) + 1)(V(2) - 1)

= (3 - 2V(2))(Vn - Un)/2

= (3/2 - V(2))Wn

==> (Wn) suite géo de raison (3/2 - V(2))

b) Wn = (3/2 - V(2))^n x W0

3/2 - V(2) < 1  ==> (Wn) décroissante et lim Wn = 0

2) 3/2 - V(2) > 0

et W0 = V0 - U0 = V(2) - 1 > 0

==> Wn > 0

==> Vn - Un > 0

==> Vn > Un

3) Un+1 - Un = (Un + Vn)/2 - Un = (Vn - Un)/2 > 0

==> (Un) est croissante

Vn+1 - Vn = .... = (Un - Vn)/(1 + V(2) < 0

==> (Vn) déroissante

4) U0 < Un < Vn < V0

==> (Un) est majorée par V0 et (Vn) est minorée par U0.

(Un) croissante et majorée ==> (Un) convergente
(Vn) décroissante et minorée ==> (Vn) convergente

lim Wn = 0

<=> lim (Vn - Un) = 0

<=> lim Vn = lim Un

 
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