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Dans un repère orthonormé (O;I ;J), soit la parabole d’équation : =[tex] x^{2} [/tex]
, et pour tout nombre m , soit dm la droite d’équation = 2x+m
Dans le cas où la droite coupe la parabole en deux points, on appelle Am et Bm ces deux points et Cm le milieu du segment [AmBm].
Déterminer l'ensemble I des valeurs de m telles que la droite Dm coupe la parabole, et dans ce cas déterminer la ligne sur laquelle se déplace le point Cm lorsque m varie dans I.

Sagot :

Scoladan
Bonjour,

Intersection de la parabole et de Dm :

x^2 = 2x + m              (^2 veut dire au carré)

<=> x^2 - 2x - m = 0

Δ = 4 + 4m = 4(1+ m)

Pour obtenir 2 points d'intersection, il faut :

Δ > 0 ==> 1 + m > 0 ==> m > -1

Alors : Δ = [2V(1+m)]^2  (V veut racine)

Soit Am(xAm;yAm) et Bm(xBm;yBm) les 2 points d'intersection :

xAm = (2 - 2V(1+m))/2 = 1 - V(1+m)

et xBm = 1 + V(1+m)

==> yAm = 2(1 - V(1+m)) + m

et yBm = 2(1 - V(1+m)) + m

Donc Cm(xCm;YCm) :

xCm = (xAm + xBm)/2 = 1

et

yCm = (yAm + yBm)/2 = 2 + m

Soit Cm(1 ; 2 + m).

Les points Cm ont tous pour abscisse 1.

L'ensemble I  est donc la demi droite parallèle à l'axe des ordonnées constituée des points Cm(1; 2+m) avec m > -1.
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