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Sagot :
Montrer que (Un) est bornée :
Un=(2/3)^k
(Un) est décroissante
bornée par 0 et 2/3
convergente vers 0
Vn= (1/k!)
Montrer que pour tout k>=2, 2^(k-1)<k!
on procède par récurrence :
(I) : V2=1/2 et 2^1<2
(H) : on suppose que 2^(k-1)<k!
donc 2^(k-1)*2<2*k!
donc 2^k<2*k!<k*k!
donc 2^k<(k+1)!
(C) : pour tout k>=2 : 2^(k-1)<k!
En déduire que Vn est majorée par 3
on déduit de la relation précédente :
1/(2^(k-1)) > 1/k!
donc Vn<1/(2^(n-1))
donc Vn<1<3
Un=(2/3)^k
(Un) est décroissante
bornée par 0 et 2/3
convergente vers 0
Vn= (1/k!)
Montrer que pour tout k>=2, 2^(k-1)<k!
on procède par récurrence :
(I) : V2=1/2 et 2^1<2
(H) : on suppose que 2^(k-1)<k!
donc 2^(k-1)*2<2*k!
donc 2^k<2*k!<k*k!
donc 2^k<(k+1)!
(C) : pour tout k>=2 : 2^(k-1)<k!
En déduire que Vn est majorée par 3
on déduit de la relation précédente :
1/(2^(k-1)) > 1/k!
donc Vn<1/(2^(n-1))
donc Vn<1<3
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