Bonjour,
Regarde la figure jointe. Attention les lettres utilisées ne sont pas les mêmes que sur la figure de l'énoncé.
1) On construit le triangle OAB, rectangle en A avec :
OA = 1 cm et AB = 1 cm
D'après le théorème de Pythagore, on a :
OB² = OA² + AB² = 1 + 1 = 2
Donc OB = √2
2) On construit un second triangle OBC, rectangle en B, ayant pour côté :
OB = √2 et BC = 1
On aura alors : OC² = OB² + BC² = 2 + 1 = 3
Donc OC = √3
3) Pour obtenir un segment de longueur √11, il faut tracer 10 triangles rectangles.
A chaque étape, la longueur de l'hypoténuse est égale à la racine carrée de la longueur de l'hypoténuse précédente au carré plus 1 :
√2 = √(1² + 1²)
√3 = √((v2² + 1²)
√4 = √(√3² + 1²)
√5 = √(√4² + 1²)
√6 = √(√5² + 1²)
√7 = √(√6² + 1²)
√8 = √(√7² + 1²)
√9 = √(√8² + 1²)
√10 = √(√9² + 1²)
√11 = √(√10² + 1²)
4) a) 11 = 1² + 1² + 3²
On trace un premier triangle rectangle de côtés :
1 cm et 3 cm.
L'hypoténuse vaut alors : √(1² + 3²) = √10 cm
Puis un second triangle rectangle de côtés :
√10 cm et 1 cm
On obtient alors une hypoténuse de longueur :
√(√10² + 1²) = √11
5) a)
D'après ce qu'a démontré Lagrange, tout entier n > 0
s'écrit comme la somme de au plus 4 carrés :
n = a² + b² + c² + d² avec a,b,c,et d 4 entiers naturels
On a vu que 11 était la somme de 3 carrés et que l'on pouvait construire une longueur de √11 avec seulement 2 triangles.
n étant la somme de, au plus, 4 carrés, on peut construire √n avec (4 - 1) = 3 triangles rectangles.
b)
On recherche une décomposition de 75 en somme de carrés :
75 = 64 + 11 = 8² + 3² + 1² + 1²
On a trouvé que 75 était la somme de 4 carrés.
On peut donc tracer un segment de longueur √75 avec (4 -1) = 3 triangles.
On trace un premier triangle rectangle de côtés :
1 et 3 cm
On obtient une hypoténuse de √(3² + 1²) = √10
On trace un second triangle rectangle de côtés :
√10 et 1 cm
On obtient une hypoténuse de : √(√10² + 1²) = √11
Enfin un troisième triangle rectangle de côté :
√11 et 8
On obtient une hypoténuse de : √(√11² +8²) = √75
